最小二乘法原理及极值点判定

最小二乘法的本质原理

  

    本文主要以最简单的二元线性函数为基础，阐述最小二乘法的原理，事实上，最小二乘法可以更广泛地应用于非线性方程中，但本文以介绍为主，希望能以最简单的形式，使读者能够掌握最小二乘法的意义。

在物理实验数据统计时，我们会记录一些数据，记做数据x和数据y。但是，在记录数据后，我们依然不知道x和y 的具体关系。例如，测算男人手掌面积和身高的关系，我们会得到两组数据，如图，

               图1数据点分布

这并不是一条严格意义上的直线，但这些数据对于实验研究员来说，可以作为某种依据，从而判断出两种数据之间的关系。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

事实上，我们更关注的是如何才能找到这么一条漂亮的曲线。那么，找到这条曲线的方法称作“最小二乘法”。

曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设x和y之间的函数关系由直线方程

　　y=ax+b给出。

式中有两个待定参数，b代表截距，a代表斜率。下面的问题在于，如何找到“最合适”的a和b使得尽可能多的数据落在或者更加靠近这条拟合出来的直线上。即数据对这条直线的逼近程度最佳。当然，当我们将直线拟合出来之后，就可以反过来进行预测了。所以说最小二乘法是很有用的一种测算方法。

实际上，我们并不关心x和y到底是多少，因为x和y是给定的，当然x和y与其本质的内在关系之间肯定存在误差。我们关心的是方程中的a和b，也就是说，在这个待定的方程中，a和b才是所求的变量，它们可以描述出x和y的关系。 所以我们接下来的任务就是找到一组最好的a和b。

我们对a和b的要求就是，使得所有x和y相对拟合直线的误差总和最小。也就是说，我们要考虑的是，要使这些数据点距离拟合直线的和最小，距离最短，这样就可以使得尽可能多的数据成为有效点。

接下来我们的工作就是，最小化误差了。

最小二成法就此登场。

最小二乘法名字的缘由有两个，一是我们要将误差最小化，二是我们将误差最小化的方法是使误差的平方和最小化。误差最小化的原因前已述及，用误差平方和最小化来约束误差的原因是要规避负数对计算的影响。

接下来我们要做的就是使误差的平方和最小了。

对试验数据，使得最小，根据二元函数取极值，可知，须成立，

则  

 

联立得

        

 

接下来求解a和b，就可以了。

问题又来了，以上求极值的方法只能保证所求的点是驻点（临界点），我们知道，多元函数的驻点可以分为三类，即极小点、极大点和鞍点。

 

             图2鞍点

 

             图3极小点

我们至此还不能说明这就是我们要找的最优解，因为驻点有可能是极小点也有可能是鞍点或者是极大点。所以我们接下来要证明所求是满足要求的极小点。

 

极值点的判定

 

设函数，假设a不为零，则

  

  

这样，我们就把原式改写成了平方和/差的形式了。但我们还不知道到底是平方和还是平方差，这取决于平方项的系数。

下面分三种情况讨论：

若4ac-b^2<0，则二次项系数一正一负，临界点是鞍点。

若4ac-b^2=0，则只有一个平方项，这就意味着函数临界点只受到一个方向的约束，另一个方向发生了退化，不起作用了，如图，

      图4 退化后的极值点

若4ac-b^2>0，这时会有两个平方项的系数都是正，此时w必能取到极值。当a>0时取极大值；当a<0时取取极小值。

由于通常情况下，我们求解释不可能有如此规范的方程形式，所以我们要引入二阶导数，再用以上方法判断临界点的类型。

(1) 二元函数的极值一定在临界点和不可导取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，，即是驻点。

(3) 二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，，，则

当且 A<0时，f为极大值；

当且A>0，f为极小值；

时，是鞍点；

当B2－AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，这里不做讨论了。

最后，我们将原始方法和二阶导方法做一个联系，事实上，二阶导的方法是原始方法的进化版本。

对求导，得

 

    

    将求二阶导方法中的A、B、C与原始方法中的a、b、c建立联系，得

A=2a

B=b

C=2c

从而得到AC=4ac-b^2，可见两种方法等效。