骗分导论--ODT珂朵莉树

珂朵莉树の由来

珂朵莉树(或称ODT(Old Driver Tree老司机树))
这个毒瘤算法由CodeForces - 896C Willem, Chtholly and Seniorious 的正解衍化而来

虽然很多时候在随机数据下跑时不错
由于其骗分暴力的非正统算法思想
一定要切记这只是骗分暴力，时间复杂度上并不正确

---

什么时候用珂朵莉树

珂朵莉树一般用来解决本来应当由线段树解决的区间类问题

而使得珂朵莉树暴力艹标程的关键是assign区间推平操作
也就是题目中必须有区间赋值操作，而且数据纯随机的情况下才有复杂度保证

---

珂朵莉树–初始化

一般珂朵莉树选择使用 set 维护数列
set中每个结点维护三个值$(ll,rr,val)$，意为$[ll,rr]$内的值都为$val$
也就是每个节点保存一段连续的值相同的区间
set中以每个区间左端点排序

struct node
{
    int ll,rr;
    mutable int val;
    node(int L,int R=-1,int V=0): ll(L), rr(R), val(V) {}
    bool operator < (const node& tt)const { return ll<tt.ll;}//以区间左端点排序
};
set<node> st;

需要注意的是$mutable$
没有它对$val$的修饰，在接下来add函数里导致CE。

接下来为方便有关迭代器的操作，我们做一个宏定义

#define IT set::iterator

---

珂朵莉树–分裂Split

$split(pos)$操作是指将原来含有pos位置的节点分成两部分$[l,pos-1]$和$[pos,r]$
并返回分裂后以$pos$为左端点的结点的迭代器

IT split(int pos)
{
    IT it=st.lower_bound(node(pos));//二分找到第一个左端点不小于pos的区间
    if(it!=st.end()&&it->ll==pos) return it;//pos本身就是某个区间的左端点，不用分裂
    --it;//否则上一个区间才是包含pos的区间
    int ll=it->ll,rr=it->rr,val=it->val;
    st.erase(it);//删除原结点
    st.insert(node(ll,pos-1,val));
    return st.insert(node(pos,rr,val)).first;//这里.first返回的是迭代器
}

---

珂朵莉树–区间赋值Assign

珂朵莉树就是靠这个东西维持其不正确的复杂度的

void assign(int ll,int rr,int val)
{
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    st.erase(itl,itr);
    st.insert(node(ll,rr,val));
}

分裂出需要的区间，删除后重新插入一个新的
注意分裂出$[ll,rr]$区间时要先分裂右端点，在分裂左端点

$erase$方法可以删除迭代器描述的区间$[first,last)$，注意左闭右开

void erase (iterator first, iterator last)

在数据纯随机的情况下，可以证明每次$assign$的区间长度期望为$N/3$
于是$set$规模迅速下降，随后达到接近$O(mlogn)$的玄学非正确复杂度

---

珂朵莉树–其他暴力操作

其他操作真的就是规规矩矩的纯暴力
直接取出对应区间，暴力对每一个进行操作

一般就是长这样

void fun(int ll,int rr)
{
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) 
    {
    	//...
    }
}

煮个栗子–区间求和

int qsum(int ll,int rr)
{
    int res=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) res+=(itl->rr-itl->ll+1)*itl->val;//注意乘(itl->rr-itl->ll+1)
    return res;
}

再煮个复杂点的栗子–区间Kth

也是一样的暴力

#define pir pair//前一个记录值，后一个记录出现次数
int kth(int ll,int rr,int k)
{
    vector<pir> vec;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    
    for(;itl!=itr;++itl)
    vec.push_back( pir(itl->val,itl->rr-itl->ll+1) );
    sort(vec.begin(),vec.end());//全部存下来排序就好
    
    for(vector<pir>::iterator it=vec.begin();it!=vec.end();++it)
    {
        k-=it->second;
        if(k<=0) return it->first;
    }
    return -1;
}

---

珂朵莉树–暴力AC应用

CodeForces - 896C Willem, Chtholly and Seniorious

毒瘤ODT的源头

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long lt;
#define IT set::iterator
#define pir pair
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)

lt read()
{
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

lt seed,vmax;
lt rnd()
{
    lt res=seed;
    seed=(seed*7+13)%1000000007;
    return res;
}

const int maxn=100010;
int n,m;
lt a[maxn];
struct node
{
    int ll,rr;
    mutable lt val;
    node(int L,int R=-1,lt V=0): ll(L), rr(R), val(V) {}
    bool operator < (const node& tt)const { return ll<tt.ll;}
};
set<node> st;

lt qpow(lt a,lt k,lt p)
{
    lt res=1; a%=p;
    while(k>0){
        if(k&1) res=(res*a)%p;
        a=(a*a)%p; k>>=1;
    }
    return res;
}

IT split(int pos)
{
    IT it=st.lower_bound(node(pos));
    if(it!=st.end()&&it->ll==pos) return it;
    --it;
    int ll=it->ll,rr=it->rr;
    lt val=it->val;
    st.erase(it);
    st.insert(node(ll,pos-1,val));
    return st.insert(node(pos,rr,val)).first;
}

void assign(int ll,int rr,lt val)
{
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    st.erase(itl,itr);
    st.insert(node(ll,rr,val));
}

void add(int ll,int rr,lt val)
{
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) itl->val+=val;
}

lt kth(int ll,int rr,int k)
{
    vector<pir> vec;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl)
    vec.push_back(pir(itl->val,itl->rr-itl->ll+1));
    sort(vec.begin(),vec.end());
    for(vector<pir>::iterator it=vec.begin();it!=vec.end();++it)
    {
        k-=it->second;
        if(k<=0) return it->first;
    }
    return -1;
}

lt qsum(int ll,int rr,lt x,lt y)
{
    lt res=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl)
    res+=(qpow(itl->val,x,y)*((itl->rr-itl->ll+1)%y))%y,res%=y;
    return res;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    seed=read();vmax=read();
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i]=(rnd()%vmax)+1;
        st.insert(node(i,i,a[i]));
    }
    
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int op=(rnd()%4)+1;
        int ll=(rnd()%n)+1,rr=(rnd()%n)+1;
        lt x,y;

    	if(ll>rr) swap(ll,rr);
    	if(op==3) x=(rnd()%(rr-ll+1))+1;
    	else x=(rnd()%vmax)+1;
    	if(op==4) y=(rnd()%vmax)+1;
    	
    	if(op==1) add(ll,rr,x);
    	else if(op==2) assign(ll,rr,x);
    	else if(op==3) printf("%lld\n",kth(ll,rr,x));
    	else if(op==4) printf("%lld\n",qsum(ll,rr,x,y));
    }
    return 0;
}

---

洛谷P2572 [SCOI2010]序列操作

没什么好解释的。。毕竟就是暴力

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define IT set::iterator

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=100010;
int n,m;
int a[maxn];
struct node
{
    int ll,rr;
    mutable int val;
    node(int L,int R=-1,int V=0): ll(L), rr(R), val(V) {}
    bool operator < (const node& tt)const { return ll<tt.ll;}
};
set<node> st;

IT split(int pos)
{
    IT it=st.lower_bound(node(pos));
    if(it!=st.end()&&it->ll==pos) return it;
    --it;
    int ll=it->ll,rr=it->rr,val=it->val;
    st.erase(it);
    st.insert(node(ll,pos-1,val));
    return st.insert(node(pos,rr,val)).first;
}

void assign(int ll,int rr,int val)
{
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    st.erase(itl,itr);
    st.insert(node(ll,rr,val));
}

void rev(int ll,int rr)
{
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) itl->val^=1;
}

int qsum(int ll,int rr)
{
    int res=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) res+=(itl->rr-itl->ll+1)*itl->val;
    return res;
}

int qmax(int ll,int rr)
{
    int res=0,tt=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) 
    {
        if(itl->val==0) res=max(res,tt),tt=0;
        else tt+=itl->rr-itl->ll+1;
    }
    return max(res,tt);
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i]=read();
        st.insert(node(i,i,a[i]));
    }
    
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int k=read(),ll=read()+1,rr=read()+1;
    	if(k==0) assign(ll,rr,0);
    	else if(k==1) assign(ll,rr,1);
    	else if(k==2) rev(ll,rr);
    	else if(k==3) printf("%lld\n",qsum(ll,rr));
    	else if(k==4) printf("%lld\n",qmax(ll,rr));
    }
    return 0;
}

---

洛谷P2787 语文1（chin1）- 理理思维 题解

时空消耗量都艹过正解不止一个数量级

---

再次提醒

不管珂朵莉树才实际中再怎么优秀，那都只是数据随机的结果
说到底只是暴力骗分手段
尽管可以用ODT AC很多题，但改变不了时间复杂度是非正确的的事实

建议平时的练习中少用，因为这样会忽略了题目本身正解的精髓
考场上对题目没有思路倒是一个很好的骗分手段