大数运算

大数运算(1)——大数存储

int (16位) -32768~32767
(注:现在大多数的编译器的int型是32位的 也就是说跟long型的大小一样)
long long或__int64(64位) 
   -9223372036854775808~9223372036854775807
float(32位) 精确到小数点后6~7位 
double (64位) 精确到小数点后15~16位
(注:平时做题时 都把浮点型数据定义为double型 避免精度不够出错)

大数计算的数和结果精度一般是少则数十位,多则几万位。在C/C++语言中定义的类型中精度最多只有二十多位。一般我们称这种基本数据类型无法表示的整数为大整数。如何表示和存放大整数呢?基本的思想就是:用数组或字符串存放和表示大整数。一个数组或字符串元素,存放大整数中的一位。

例如:

大数a:1545485785212454510

大数b:15458526545451

大数c:2635578521245451

大数d:487845451

大数e:52454521247

大数运算_第1张图片

用字符串进行大数的储存后,若进行运算,可以根据ASCII表中字符串元素对应的ASCII值减去0的ASCII值进行运算。

例如:字符串中a[0]='4',其ASCII值是52,0的ASCII值是48,用52减去48正好是数字4。

大数运算(2)——大数加法

/*大数加法的中心思想就是:模拟人工列竖式算加法的方法。先从最低位开始相加,判断是否进1,一直到最高位。
例如:
求12545642233+278545的和,该怎么算?
是这样的:
     3  3  2  2  4  6  5  4  5  2  1  0
+  2  7  8  5   4  5  0  0  0  0  0  0
————————————————
    5    //不进位,继续算下一位
         0    //进位为1,并储存其各位数0
             1   //2+8=10,10+1=11,同样,进位为1,并储存其各位数1
                  8   //不进位,继续算下一位
————————>
由低位向高位相加计算,注意判断是否进位!计算结束后,注意判断最后所得数组的长度,并去掉前导0。

下面是C语言代码实现:

#include
#include
int x[100]={0},y[100]={0},z[105]={0};//将数组元素全部初始化为0 
int main()
{
	char a[100],b[100];//通过字符串对大数进行输入并储存 
	int len1,len2,len;
	while(scanf("%s %s",a,b))
	{
		int i,j=0,k=0;
		len1=strlen(a);
		len2=strlen(b);
		for(i=len1-1;i>=0;i--)//将两个字符串中的字符转化为数字,并倒序储存到数组中,即字符串为123456,则数组为654321 
		{
			x[j]=a[i]-'0';
			j++;
		}
		for(i=len2-1;i>=0;i--)
		{
			y[k]=b[i]-'0';
			k++;
		}
		if(len1>len2)
            len=len1;
        else
            len=len2;
		i=0;//从最低位(个位)开始进行计算
		int m=0;
		for(i=0;i=10)
				m=1;
			else
				m=0;
		}
		if((x[i-1]+y[i-1]+m)>=10)//判断运算的最大位的和是否>=10 
			z[i]=1;
		else
			i=i-1;
		for(;i>=0;i--)//到序输出数组 
			printf("%d",z[i]);
		printf("\n");
	}
	return 0; 
}
另外:

有时,你可能会遇到大数,但他是小数,例如125454521564564.56456132145645这样的,所以可以以小数点为界限,进行相加减。*/

大数运算(3)——大数减法

大数的减法与大数加法的方法有相似之处的,都是模拟人工运算的,从最低位开始运算,一直到最高位。

其方法是:

首先,要判断减数和被减数哪一个位数长,减数位数长是正常减;被减数位数长,则被减数减减数,最后还要加上负号;两数位数长度相等时,最好比较一下哪一个数字大,否则负号处理会很繁琐,用大的减去小的,最后加上负号;

其次,处理每一项时要,如果前一位相减有借位,就先减去上一位的借位,无则不减;再去判断是否能够减开被减数,如果减不开,就要借位后再去减,同时置借位为1,否则置借位为0。

结果可能会出现前面是一堆0的情况,要处理好,如当减数为112,而被减数为111时,会出现001 ,这时,需要将前面的0删除。

例如:13154-21213(同样,从最低位开始相减)

   3  2  1  2  2

- 4  5  1  3  1

————————

  9    //向前一位借1,则前一位的2变为1

      6    // 2---->1向前一位借1,则前一位的1变为0

          9    //1---->0向前一位借1,则前一位的2变为1

              8      //2---->1向前一位借1,则前一位的2变为1

                   0    //不用借位。

  9  6  9  8  0      //当然,输出时将0删除,并加上负号,即-9896

下面是C语言代码实现:

#include
#include
int x[100]={0},y[100]={0},z[105]={0};//将数组元素全部初始化为0
void sub(int x[],int y[],int len)
{
	int i,j;
	for(i=0;i=y[i])//如果x[i]>=y[i],不用向前一位借1,可直接减 
			z[i]=x[i]-y[i];
		else  //如果x[i]0;i--)//删除前缀0 
	{
		if(z[i]==0)
			len--;
		else
			break; 
	}
	for(i=len-1;i>=0;i--)  //倒序输出数组 
		printf("%d",z[i]);
	printf("\n");
}
int main()
{
	char a[100],b[100];//通过字符串对大数进行输入并储存 
	int len1,len2;
	while(scanf("%s %s",a,b))
	{
		int i,j=0,k=0;
		len1=strlen(a);
		len2=strlen(b);
		for(i=len1-1,j=0;i>=0;i--)//将两个字符串中的字符转化为数字,并倒序储存到数组中,即字符串为123456,则数组为654321 
			x[j++]=a[i]-'0';
		for(i=len2-1,k=0;i>=0;i--)
			y[k++]=b[i]-'0';
		if(len1>len2)  //若减数长度 > 被减数,正常减 
			sub(x,y,len1);
		else if(len1=0;i--)//判断每一位两个数的大小
			{
				if(x[i]==y[i])
					continue;
				if(x[i]>y[i])//即减数大 
				{
					sub(x,y,len1);
					break;
				}    
				if(x[i]

大数运算(4)——大数乘法

首先说一下乘法计算的算法:同样是模拟人工计算时的方法。
从低位向高位乘,在竖式计算中,我们是将乘数第一位与被乘数的每一位相乘,记录结果之后,用第二位相乘,记录结果并且左移一位,以此类推,直到计算完最后一位,再将各项结果相加,得出最后结果。
计算的过程基本上和小学生列竖式做乘法相同。为编程方便,并不急于处理进位,而将进位问题留待最后统一处理。
我们以125*53为例来说明计算过程:

1、先算125*3,3*5得到15个1,3*2得到6个10,3*1得到3个100;


2、接下来算125*5,5*5得到25个10,2*5得到10个100,5*1得到5个1000;


3、乘法过程完毕。接下来从 a[0]开始向高位逐位处理进位问题。a[0]留下5,把1 加到a[1]上,a[1]变为32 后,应留下2,把3 加到a[2]上……最终使得a里的每个元素都是1 位数,结果就算出来了


结果就是6625。

总结一个规律:即一个数的第i 位和另一个数的第j 位相乘所得的数,一定是要累加到结果的第i+j 位上。这里i, j 都是从右往左,从0 开始数。
即:ans[i+j] = a[i]*b[j];

另外进位时要处理,当前的值加上进位的值再看本位数字是否又有进位;前导清零。

下面是C语言代码实现:


#include
#include
#define MAX 100
char a[MAX],b[MAX];//用字符串进行数字的输入 
int x[MAX+10],y[MAX+10],z[MAX*2+10];//积的位数最多是因数位数的两倍 
int main()
{ 
	int len1,len2,i,j;
	while(~scanf("%s %s",a,b))
	{
		len1=strlen(a);
		len2=strlen(b);
		for(j=0,i=len1-1;i>=0;i--)//将字符串中字符转化为数字,并倒序储存 
			x[j++]=a[i]-'0';
		for(j=0,i=len2-1;i>=0;i--)
			y[j++]=b[i]-'0';
		for(i=0;i=10)  //若>=10 
			{
				z[i+1]=z[i+1]+z[i]/10;  //将十位上数字进位 
				z[i]=z[i]%10;  //将个位上的数字留下
			}
		}
		for(i=MAX*2;i>0;i--)  //删除0的前缀 
		{
			if(z[i]==0)
				continue;
			else
				break;
		}
		for(;i>=0;i--)  //倒序输出 
			printf("%d",z[i]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

大数运算(5)——大数除法(取模、取余)

有关于大数除法的运算可以大致分为两种:一种是求商(取模),另一种是求余数(取余)。

有两个大整数a和b,当a==b时,a/b==1,余数是0。(a!=0,b!=0)

                                     当a>b时,a/b>=1,余数需要通过计算求得。

                                     当a

而我们经常需要求的便是当a>b,这种情况我们该如何求商和余数呢?

其实基本的思想就是反复做减法,看看从被除数里最多能减去多少个除数,商就是多少。一个一个减显然太慢,如何减得更快一些呢?

以28536 除以23 为例来看一下:开始商为0。

先减去23 的1000 倍,就是23000,发现够减1 次,余下5536,于是商的值就增加1000;

然后用5536减去2300,发现够减2 次,余下936,于是商的值增加200,即1200;

再用936 减去230,够减4 次,余下16,于是商值增加40,即1240。

最后,发现余下的数比23小,即为余数,即28536 / 23 得1240余16。

这时,你会发现这其实就是咱们人工计算时相当于列的竖式。

另外,注意:我这里写的是有关大数除以大数的除法,同样适用于大数除以int类型范围的数,当然,也可以另写关于大数除以int的数。

这里写的全部是大整数,不包括小数。

下面是C语言代码实现:

#include
#include
char a[100],b[100];//用两个字符串用来输入两个大数 
int x[100],y[100],z[100],m[100];//被除数  除数  商  余数 
int digit;//大数的位数 
void sub(int x[],int y[],int len1,int len2)//大数减法 
{
	int i;
	for(i=0;i=0;i--)//判断减法结束之后,被除数的位数 
	{
		if(x[i])
		{ 
			digit=i+1;
			break;		   
		} 
	}
}
int judge(int x[],int y[],int len1,int len2)
{
	int i;
	if(len1=0;i--)
		{
			if(x[i]==y[i])//对应位的数相等 
				continue;
			if(x[i]>y[i])//被除数 大于 除数,返回值为1 
				return 1;
			if(x[i]=0;i--)//将字符串中各个元素倒序储存在数组中 
			x[j++]=a[i]-'0';
		for(i=len2-1,k=0;i>=0;i--)
			y[k++]=b[i]-'0';		    
		if(len1=0;i--)//将除数后补零,使得两个大数位数相同。被除数:4541543329 除数:98745,加零后:9874500000 
			{
				if(i>=len)
					y[i]=y[i-len];
				else
					y[i]=0;
			}
			len2=len1;//将两个大数数位相同 		
			digit=len1;	//将原被除数位数赋值给digit 
			for(j=0;j<=len;j++)
            {
				z[len-j]=0;
				while(((temp=judge(x,y,len1,len2))>=0)&&digit>=k)//判断两个数之间的关系以及位数与除数原位数的关系 
				{	
					sub(x,y,len1,len2);	//大数减法函数			    
					z[len-j]++;//储存商的每一位
					len1=digit;//重新修改被除数的长度
					if(len10;i--)//去掉前缀0 
			{
				if(z[i])
					break;
			}
			for(;i>=0;i--)
				printf("%d",z[i]);
			printf("\n");
			printf("余数是:");
			for(i=len1;i>0;i--)
			{
				if(x[i])
					break;
			}
			for(;i>=0;i--)
				printf("%d",x[i]);
			printf("\n");
		}
	}
	return 0;
}

大数运算(6)——大数阶乘(求位数)

第一种:

lg(N!)=[lg(N*(N-1)*(N-2)*......*3*2*1)]+1

         =[lgN+lg(N-1)+lg(N-2)+......+lg3+lg2+lg1]+1

用C语言实现:

#include
#include
int main()
{
	int n;
	double sum=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum=sum+log10(i);
	}
	printf("%d\n",(int)sum+1);
	return 0;
}

第二种:

用Stirling公式计算n!结果的位数时,可以两边取对数,

得: log10(n!) = log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E); 
故n!的位数= log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E)+1(注意:当n=1时,算得的结果为0)


#include
#include
#define PI 3.141592654
#define E 2.71828182846
int main()
{
	int n,sum=1;
	scanf("%d",&n);
	if(n>3)
		sum=log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E)+1;
	printf("%d\n",sum);
	return 0;   
}

大数运算(7)——大数阶乘(求阶乘)

对于大数来说,一个数的阶乘是非常大的,同样,一个int类型的整数,他的阶乘就有可能会很大。

就拿50来说,他的阶乘位数是65位,就已经远远超过了long long int类型的最大值。这时候,我们要通过字符串的方法,来进行阶乘的运算。

当然,需要注意的是:

我们所求一个数的阶乘,这个数是在int范围内的,5000的阶乘位数是16326位。

其方法是:

首先,我们是可以先求一定范围内的最大值的阶乘位数,以便于申请数组空间的确定。

对于大数问题,我们要有将大数与数组结合的思想,可以利用类似于人工求值的方法求出有关大数的问题。

对于大数阶乘来说,最重要的是如何将每个数的每位数与相对应的数组元素储存起来,就如算50的阶乘,我们要先从1开始乘:

1*2=2,将2存到a[0]中,

接下来是用a[0]*3;

    2*3=6,将6储存在a[0]中,

接下来是用a[0]*4;

    6*4=24,是两位数,那么24%10==4存到a[0]中,24/10==2存到a[1]中,

接下来是用a[0]*5;a[1]*5+num(如果前一位相乘结果位数是两位数,那么num就等于十位上的那个数字;如果是一位数,num==0)

    24*5=120,是三位数,那么120%10==0存到a[0]中,120/10%10==2存到a[1]中,120/100==1存到a[2]中,

接下来是用a[0]*3;a[1]*6+num;a[2]*6+num;

    120*6=720,那么720%10==0存到a[0]中,720/10%10==2存到a[1]中,720/100==7存到a[2]中,

...................

直到乘到50,将每一位数储存为止。

下面是C语言代码实现:

#include 
int main()
{
	int a[20001];//储存每一位所得到的数 
	int temp,digit,n,i,j=0;//temp每次的得数   digit每次得数的位数  
	scanf("%d",&n);
	a[0]=1;//从1开始乘 
	digit=1;//位数从第一位开始 
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		int num=0;
		for(j=0;j=0;i--)//倒序输出每一位 
		printf("%d",a[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

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