k 数和问题

在之前的几篇文章中Leetcode 1:两数之和（最详细解决方案！！！）Leetcode 167:两数之和 II - 输入有序数组（最详细解决方案！！！）Leetcode 15:三数之和（最详细解决方案！！！）

那么这些问题是不是有一些内在的联系呢？

k-SUM can be solved more quickly as follows.

• For even k: Compute a sorted list S of all sums of k/2 input elements. Check whether S contains both some number x and its negation −x. The algorithm runs in $O(n^{k/2}logn)$time.
• For odd k: Compute the sorted list S of all sums of (k−1)/2 input elements. For each input element aa, check whether S contains both x and a−x, for some number x. (The second step is essentially the $O(n^2)$-time algorithm for 3SUM.) The algorithm runs in $O(n^{(k+1)/2})$ time.

Both algorithms are optimal (except possibly for the log factor when k is even and bigger than 2) for any constant k in a certain weak but natural restriction of the linear decision tree model of computation.

k-SUM问题可以通过如下途径解决：

• k是偶数：我们首先对输入列表S排序，然后计算输入列表S中的所有k/2的和（例如：对于4-SUM问题，我们计算所有两个数的和），将结果放到一个查找表当中，检查这个查找表中，是不是存在x和target - x这样的数对，那么这两个数对对应的求和之前的数就是我们要找的结果。这个算法的时间复杂度是$O(n^{k/2}logn)$。
• k是奇数：我们首先对输入列表S排序，然后计算输入列表S的所有k-1/2的和，将结果放到一个查找表当中。对每个输入的元素a，检查查找表中是否包含x和target - a - x这样的数对。这个算法的时间复杂度是$O(n^{(k+1)/2}logn)$。

另外这里有一篇论文提供了一种新的解法A new algorithm for solving the rSUM problem