线性规划——单纯形法

单纯形法

现在假设原线性规划中，不存在单位矩阵$I$，所取的基是一般形式的$B$，则形式如下：

①最优解判别准则（如何判断我们得到的解是否是最优解，然后终止迭代）：
判别数和基都一般化时的情况：

若令${\sigma }_j=C_B^T{B}^{-1}{P}_j-c_j$，$j=1,\dots ,n$，则当任意${\sigma }_j\le 0$时，$X=(B^{-1}b，0)$为最优解

②换基操作：如果当前顶点不是最优解时，如何从一个基可行解（顶点）沿下降方向到另一个基可行解（顶点）

设第$l$列是进基列，第$k$列是出基列，$a_{kl}$是主元，即${\sigma }_l>0$，$a_{kl}>0$，则我们的目标是将$P_l$通过行初等变换变成单位向量，此时$P_k$变成非单位向量，如下：

行初等变换规则（分为系数和增广系数）如下，不用死记硬背：

主元的选择方法：
首先，主元必须大于0，不然进基后，增广系数会为负数，破坏标准线性规划形式；在同样大于0的情况下，要保证在行变换过程中所有增广系数都非负，因此满足下式成立：

③进基列的选择：如何选择进基列可以使目标函数有较大的下降

• 基可行解$X^0=(B^{-1}b,0)$非退化
  若是退化的基可行解，则此时不同的基可能对应相同的解，因此是非严格下降的，该要求能保证严格递减
• 进基列的判别数${\sigma }_j>0$
  ${\sigma }_j>0$说明以它为基，目标函数值还可以减小
• 进基列向量中至少有一个元素是正的
  保证可以变小并且是有界的变小，而不是无穷小导致原线性规划无最优值

判别数：
${\sigma }_j=C_B^T{B}^{-1}{P}_j-c_j$

无解：判别数${\sigma }_j>0$，但是$P_j<0$，此时无解
无穷多最优解：存在一个非基变量对应的判别数为0
唯一解：所有非基变量对应的判别数严格小于0

补充：计算单纯形表最后一行的小技巧

在进行换基运算时，可以同时对单纯行表最后一行做行初等变换（让进基列判别数为0），变换公式如下：

避免循环

当基可行解退化时，可能出现循环情况
解决方法：左上原则
进基列选择所有判别数为正的最左边的一列，主元选择（多个最小值）行标最小的

修正单纯形法（一般计算机编程实现用）

优点： 不需要画多个表格，只需要存储一个基矩阵的逆
思想： 用初等矩阵记录一系列的行初等变换的过程，只保留参与迭代的列向量的运算

新一轮迭代：
上一轮迭代变换后的进基列$P_j^{k-1}=B_{k-1}^{-1}{P}_j^0$
加入新进基列后的矩阵$M$，强制转化成单位阵需要的初等矩阵$E$，也就是求$M$的逆
在上一轮基矩阵的逆的基础上，得到新一轮基矩阵的逆：$B_k=M^{-1}{B}_{k-1}$
计算新$b$、新$\sigma$
根据新$\sigma$找出本轮的进基列，并计算本轮迭代变换后的进基列$P_j^k=B_k^{-1}{P}_j^0$
根据本轮迭代变换后的进基列和新$b$，挑选主元进入下一轮迭代

都是找的第一张表的值，因为用到了基矩阵的逆，而基矩阵的逆是一个累计值