写在前面：
上次我们介绍了神奇的只有五行的 Floyd-Warshall 最短路算法，它可以方便的求得任意两点的最短路径，这称为“多源最短路”。
这次来介绍指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。
Dijkstra算法
与 Floyd-Warshall 算法一样，这里仍然使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系，初始值如下。
我们还需要用一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程，我们可以称 dis 数组为“距离表”，如下。
我们将此时 dis 数组中的值称为最短路的“估计值”。
既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离 1 号顶点最近的顶点。
通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。
为什么呢？你想啊，目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。因此 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短，对吧 O(∩_∩)O~
既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。
先讨论通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。也就是说现在来比较 dis[3]和 dis[2]+e[2][3]的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程，e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点，再通过 2->3 这条边，到达 3 号顶点的路程。
我们发现 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3]，通过 2->3 这条边松弛成功。 这便是 Dijkstra 算法的主要思想：通过 “边” 来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。
同理通过 2->4（e[2][4]），可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4（dis[4]初始为 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新为 4）。
刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：
接下来，继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组，当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边（4->3，4->5 和 4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：
继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 3 号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：
继续在剩下的 5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 5 号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：
最后对 6 号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。
最终 dis 数组如下，这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。
OK，现在来总结一下刚才的算法。Dijkstra算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是 1 号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。
基本步骤如下：
① 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合 P 和未知最短路径的顶点集合 Q。最开始，已知最短路径的顶点集合 P 中只有源点一个顶点。我们这里用一个 book[i] 数组来记录哪些点在集合 P 中。例如对于某个顶点 i，如果 book[i] 为 1 则表示这个顶点在集合 P 中，如果 book[i] 为 0 则表示这个顶点在集合 Q 中。【初始化book标记】
② 设置源点 s 到自己的最短路径为 0 即 dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点 i，则把 dis[i] 设为 e[s] [i] 。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为 ∞ 。【初始化dis距离表】
③ 在集合 Q 的所有顶点中选择一个离源点 s 最近的顶点 u（即 dis[u] 最小）加入到集合 P。并考察所有以点 u 为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从 u 到 v 的边，那么可以通过将边 u->v 添加到尾部来拓展一条从 s 到 v 的路径，这条路径的长度是 dis[u]+e[u] [v]。如果这个值比目前已知的 dis[v] 的值要小，我们可以用新值来替代当前 dis[v] 中的值。【取dis最小(访问过的除外)，边松弛】【核心】
④ 重复第 ③ 步，如果集合 Q 为空，算法结束。最终 dis 数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。
关于Dijkstra的两个问题：
在博客中看到两个比较有趣的问题，也是在学习Dijkstra时，可能会有疑问的问题。
- 问题一：边权≠边长
当我们看到上面这个图的时候，凭借多年对平面几何的学习，会发现在“三角形ABC”中，满足不了构成三角形的条件(任意两边之和大于第三边)。纳尼，那为什么图中能那样子画？
还是“三角形ABC”，以A为起点，B为终点，如果按照平面几何的知识，“两点之间线段最短”，那么，A到B的最短距离就应该是6(线段AB)，但是，实际上A到B的最短距离却是3+2=5。这又怎么解释？
其实，之所以会有上面的疑问，是因为对边的权值和边的长度这两个概念的混淆， 。之所以这样画，也只是为了方便理解（每个人写草稿的方式不同，你完全可以用别的方式表示，只要便于你理解即可）。
- 问题二：可以完美地扫到图中每个点
按照Dijkstra算法，是可以完美地扫到图中地每一个点地，倘若你不确定这一点，可以自己再手动模拟一下该算法的过程，相信你会收获颇丰。
代码实现：
通过邻接矩阵的Dijkstra时间复杂度是。
对于边数少于的稀疏图来说（我们把的图称为稀疏图，而相对较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到。
请注意！在最坏的情况下就是，这样的话要比还要大。但是大多数情况下并不会有那么多边，因此要比小很多。
【邻接矩阵实现Dijkstra】
// Dijkstra邻接矩阵
#include
#include
#include
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;// 正无穷
const int Maxsize=1e3+5;// 顶点数
int e[Maxsize][Maxsize];// 邻接矩阵
int book[Maxsize];// 标记
int dis[Maxsize];// 距离表
int n,m;// n:节点；m:边
int v1,v2,w;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
// 初始化邻接矩阵
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)e[i][j]=0;
else e[i][j]=INF;
}
}
// input vex，arc
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&v1,&v2,&w);
e[v1][v2]=w;
}
// init dis
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dis[i]=e[1][i];
}
// init book
for(int i=1;i<=n;i++)book[i]=0;
book[1]=1;// 程序以源点为 1来举例
for(int i=1;i<=n-1;i++)// n-1次循环，而非n次循环(因为 1节点自身已确定)
{
// 找到距离1号顶点最近的顶点(min_index)
int min_num=INF;
int min_index=0;
for(int k=1;k<=n;k++)// n次循环
{
if(min_num>dis[k] && book[k]==0)
{
min_num=dis[k];
min_index=k;
}
}
book[min_index]=1;// 标记
for(int j=1;j<=n;j++)
{
// 节点 min__index =》j 有边
if(e[min_index][j]dis[min_index]+e[min_index][j])
{
dis[j]=dis[min_index]+e[min_index][j];
}
}
}
}
// print
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",dis[i]);
}
puts("");// 换行
return 0;
}
【(数组)邻接表实现Dijkstra】
PS：数组实现邻接表可能较难理解，可以看一下这里
#include
#include
#include
using namespace std;
const int VMaxsize=1e3+5;// 顶点数
const int AMaxsize=1e6;// 边数
int n,m;// n:顶点数；m:边数
int v1[AMaxsize],v2[AMaxsize],w[AMaxsize];
int first[VMaxsize];
int next[VMaxsize];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
// init first
for(int i=1;i<=n;i++)first[i]=-1;
//【core code】
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&v1[i],&v2[i],&w[i]);
next[i]=first[v1[i]];
first[v1[i]]=i;
}
// 遍历
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int temp=first[i];
while(temp!=-1)
{
printf("%d->%d : %d\n",v1[i],v2[i],w[i]);
temp=next[temp];
}
}
return 0;
}
写在最后：
参考资料：
- 《啊哈！算法》（文字、图片来源）
- 博客：https://blog.csdn.net/major_zhang/article/details/72519233（图片来源）
- 博客：https://blog.csdn.net/qq_36523667/article/details/78779272（两个问题）
- 极客学院：算法 7：Dijkstra 最短路算法（文字、图片来源）
- 微信公众号——程序员小灰：漫画：图的 “最短路径” 问题（挺好的一篇文章，以BFS开篇，再引出Dijkstra）
Dijkstra算法是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路程最短的点，更新与其相邻的点的路程。当所有边权都为正时，由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点，所以这个点的路程永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。
根据这个原理，用Dijkstra算法求最短路径的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的路径，有可能破坏了已经更新的点路径不会发生改变的性质。
那么，有没有可以求带负权边的指定顶点到其余各个顶点的最短路径算法（即“单源最短路径”问题）呢？答案是有的，Bellman-Ford算法就是一种。（我们已经知道了Floyd-Warshall可以解决“多源最短路”问题，也要求图的边权均为正）
通过邻接矩阵的Dijkstra时间复杂度是。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)，这里我们可以用优先队列（堆）来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到。这个我们将在后面讨论。