简述变分法在泛函极值问题中的应用

此文主要有两部分内容，一部分是泛函的一些基本概念；第二部分是变分法在研究泛函极值问题中的应用。

第一部分 泛函

泛函是函数概念的一种扩充，函数描述的是从数到数的对应关系，从自变量到因变量的一种对应关系；而泛函描述的是函数到数的一种映射关系。

定义：对于某一类函数集合中的每一个函数，都存在一个确定的数与之对应，那么就称为依赖于函数的泛函，记为

简记为J，相应的自变量函数称为宗量。

注意：宗量是某一特定函数的整体，而不是对应于某一自变量的函数值；宗量属于的函数类称为容许函数类或者容许函数空间。

线性泛函满足可叠加性和齐次性。

泛函极值问题则是，在容许函数类中求使得泛函达到极值的函数。

第二部分 变分法在研究泛函极值问题中的应用

在介绍变分法之前，我们先给出函数微分的定义，如下

若函数具有连续的导数，则它的增量可以表示如下

其中是的线性函数；是的高阶无穷小量。

当充分小时，起主要作用，为函数增量的线性主部，也称为函数的微分，记为

。

泛函宗量的变分是指同一函数类中两个函数之差，记为

。

若连续泛函的增量可以表示为

其中为的线性连续泛函，为的高阶无穷小。记为

。

上式可类比函数微分是函数增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分也称为泛函的微分。

引理1：泛函的变分为

。

定理1：若可微泛函在上达到极小（极大）值，则在上有

。

泛函的变分实际上就是关于其宗量变分的线性连续泛函，因此，可以通过求泛函对其所有宗量的一阶偏微分得到泛函的变分。

泛函的变分为

。

变分法解决的三种问题：

• 拉格朗日问题

从容许函数类中求某一函数，使得积分型泛函

取极小值问题。

• 迈耶尔（Mayer）问题

末值型泛函

取极小值问题。

• 波尔扎问题

复合型泛函

取极小值的变分问题。

定理2：如果函数在区间上连续，而且对于只满足某些一般条件的任意选定函数，有

则有

。

拉格朗日问题

考虑如下积分型的拉格朗日泛函极值问题：

其中，至少是的二次可微函数，是变量，和的连续函数，并且有二阶连续偏导数。

假设1：曲线的端点时间和是固定的，且满足如下边界条件

，

其中，，和为泛函的宗量，为积分变量。

利用泛函对其所有宗量进行一阶变分，为

其中。

由于，因此

。

根据定理2，可以得到极值条件

将左边第二项展开，可得

也可以简记为。

上式可以称为欧拉方程。欧拉方程的积分曲线称为极值曲线。

• 只有在极值曲线上泛函才能达到极小（极大）值。
• 对于两个端点固定的情况，正好可以用两个边界条件和，将积分常数和固定起来。

假设2：假定容许函数的始端给定，末端可变，并假定沿着曲线变化，寻找一条连续可微的极值曲线，使性能指标泛函

达到极值。

在该问题中，，，和为泛函的宗量，为积分变量，为求得该泛函极值问题，引入拉格朗日乘子，并重新定义泛函为

对其所有宗量进行一阶变分，为

由于固定，所以有和，因此

其中和称为横截条件；称为边界条件。

求解欧拉方程需要求解上述横截条件，由此可以求得欧拉方程中的通解中的积分常数和终端状态和。

扩展：多个宗量函数的泛函极值问题

问题描述：寻找一条连续可微的极值曲线使得性能泛函

达到极值，该极值曲线的边界条件，和为维宗量向量函数。

扩展问题在此不再给出求解，可类比一维宗量的计算方法，求解时注意矩阵的微分。