单纯形法讲解及Python代码实现

一、了解单纯形法

1.单纯形法的原理

单纯形法是一种迭代算法，其基本原理及主要步骤是：首先设法找到一个（初始）基可行解，然后再根据最优性理论判断这个基可行解是否最优解。若是最优解，则输出结果，计算停止；若不是最优解，则设法由当前的基可行内解产生一个目标值更优的新的基可行解，再利用最优性理论对所得的新基可行解进行判断，看其是否最优解，这样就构成一个迭代算法。由于基可行解只有有限个，而每次目标值都有所改进，因而必可在有限步内终止。如果原问题确有最优解，必可在有限步内达到，且计算量大大少于穷举法；若原问题无最优解，也可根据最优性理论及时发现，停止计算，避容免错误及无效运算。

2.方法步骤

①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，典范型方程组要实现变量转换（所有变量为非负）、目标转换（统一为求极大值，若求极小值可乘以(-1)）、约束转换（由不等式转化为等式）。然后，找出基本可行解作为初始基可行解。列出初始单纯形表。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代，直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用图表示如下：

二、例题讲解

题目

1.将问题化为标准型，加入松弛变量x3、x4，则标准型为：

2.求出线性规划的初始基可行解
列出初始单纯形表。

3.进行最优性检验
如果表中所有检验数σj≤0，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则进行下一步。

4.从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表
①确定换入基的变量。选择σ,> 0，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一 般选择最大的一个检验数，即: σk =max{σj,lσj,>0}，其对应的xk作为换入变
量。
②确定换出变量。根据下式计算并选择θ，选最小的θ对应基变量作为换出变量。

③用换入变量Xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
5.重复3)、4)步直到计算结束为止。


求出最优解为X=（18,4,0,0）,最优值为Z=70

当然其他函数求解办法也是一样的。大家可以去试试。

三、使用Python代码求单纯形法求解线性规划最优解和最大值

1.新建txt文档，根据上面写出的初始单纯形表将系数写入文档中。如下所示：

3 4 0 0 0
2 1 1 0 40
1 3 0 1 30

2.编写Python代码

import numpy as np
#定义线性回归系数模型
def pivot(d,bn):
    l = list(d[0][:-2])
    jnum = l.index(max(l)) #转入编号
    m = []
    for i in range(bn):
        if d[i][jnum] == 0:
            m.append(0.)
        else:
            m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
    inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0]))  #转出下标
    s[inum-1] = jnum
    r = d[inum][jnum]
    d[inum] /= r
    for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
        r = d[i][jnum]
        d[i] -= r * d[inum]  
#定义基变量函数
def solve(d,bn):
    flag = True
    while flag:
        if max(list(d[0][:-1])) <= 0: #直至所有系数小于等于0
            flag = False
        else:
            pivot(d,bn)            
def printSol(d,cn):
    for i in range(cn - 1):
        if i in s:
            print("x"+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])
        else:
            print("x"+str(i)+"=0.00")
    print("objective is %.2f"%(-d[0][-1]))
d = np.loadtxt("D:\\test.txt", dtype=np.float)
(bn,cn) = d.shape
s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表
solve(d,bn)
printSol(d,cn)

运行结果如下：

与我们上面手工推算的一致。

四、使用Python中scipy包进行上面的函数求解

Pyhton整体代码

#导入包
from scipy import optimize
import numpy as np
#确定c,A_ub,B_ub
c = np.array([3,4])
A_ub = np.array([[2,1],[1,3]])
B_ub = np.array([40,30])
#求解
res =optimize.linprog(-c,A_ub,B_ub)
print(res)

运行结果展示：

通过对比可以发现两种方法所呈现的效果是接近的，scipy包的结果的精度更加细致，所以小数保留了多位。
如果大家还有什么不懂的地方可以自己去看看这篇文章哟。观看地址