树状数组的原理及实现
对于树状数组，它的查询和修改的时间复杂度都是
log(n)，空间复杂度则为O(n)，这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构，从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和，区间和。
附上一张图便于理解
其中a数组就是原数组，c数组则是树状数组，可以发现
C1 = A1 C2 = A1+A2 C3 = A3 C4 = A1+A2+A3+A4 C5 = A5 C6 = A5+A6 C7 = A7 C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
为什么我们要用树状数组，现在给出两个样例
1.
10000个正整数，编号1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。
统计：1.编号从L到R的所有数之和为多少？ 其中1<= L <= R <= 10000.
方法一：我们可以用循环从L-1累加到R求和 ，这样的方法耗时较慢；
方法二：我们可以求前缀和，数组S【n】里存放的是前n项的和，这样我们只需要S【R】-S【L-1】即可，大大提高了程序的效率；
2.
10000个正整数，编号从1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。
修改：1.将第L个数增加C （1 <= L <= 10000）
统计：1.编号从L到R的所有数之和为多少？ 其中1<= L <= R <= 10000.
对于方法二，现在我们需要A[L]+=C，之后S[L],S[L+1],,S[R]都需要增加C；很不方便；
现在我们可以用树状数组来使得这些操作更为快捷；
原理//https://www.cnblogs.com/George1994/p/7710886.html
lowbit
它通过公式来得出k，其中k就是该值从末尾开始0的个数。然后将其得出的结果加上x自身就可以得出当前节点的父亲节点的位置或者是x减去其结果就可以得出上一个父亲节点的位置。比如当前是6，二进制就是0110，k为2，那么6+2=8，而C(8)则是C(6)的父亲节点的位置；相反，6-2=4，则是C(6)的上一个父亲节点的位置。
void add(int x,int val)//x是我们输入数的序号，val是我们输入对应序号的数值；
{
while(x<=n)//一共有n个数
{
c[x]+=val;
x+=x&-x;
}
}我们可以用这样的一个函数来构建一个树状数组；
看是一下看不出来的，我们需要用笔演算一遍，本人蒟蒻，用纸演算了好几遍。。
当我们需要修改数组中的某个值时，我们依旧调用这个函数，便可以修改掉所有要修改的值；
我们要求前n项和的时候，可以调用这样的函数
int sum(int x)
{
int res=0;
while(x)//刚刚是向后递进，现在我们往前递进，刚刚是x累加，现在是x累减；我们用笔演算可以看出得出的结果便是前X项的和；大家可以试试看；
{
res+=c[x];
x-=x&-x;
}
return res;
}
以上的两个函数便是构建和查询操作；
我们现在做一道例题试试看；便于大家理解；
HDU1166 敌兵布阵
Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。 中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。 每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。 接下来每行有一条命令，命令有4种形式： (1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30） (2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）; (3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数; (4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现; 每组数据最多有40000条命令
Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车, 对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。
Sample Input
1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Query 1 3 Add 3 6 Query 2 7 Sub 10 2 Add 6 3 Query 3 10 End
Sample Output
Case 1: 6 33 59
#include
#include
#define N 100000+7
int c[N],n,T,x,j,i,k;
char s[10];
void add(int x,int val)
{
while(x<=n)
{
c[x]+=val;
x+=x&-x;
}
}
int sum(int x)
{
int res=0;
while(x)
{
res+=c[x];
x-=x&-x;
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
for(k=1;k<=T;k++)
{
memset(c,0,sizeof(c));
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&j);
add(i,j);//构建树状数组；
}
printf("Case %d:\n",k);
while(scanf("%s",s))
{
if(!strcmp(s,"End"))
{
break;
}
if(!strcmp(s,"Add"))
{
scanf("%d%d",&i,&j);
add(i,j);//增加操作
}
if(!strcmp(s,"Sub"))
{
scanf("%d%d",&i,&j);
add(i,-j);//减少操作
}
if(!strcmp(s,"Query"))
{
scanf("%d%d",&i,&j);
printf("%d\n",sum(j)-sum(i-1));//求区间和的操作；
}
}
}
} 如果我们用前缀和或是暴力是很难解决的；所以这类题用树状数组很方便；