强连通分量、割点、割边

一、强连通分量分解

1.什么是强连通分量

对于一个有向图顶点的子集$S$，如果在$S$内任取两个顶点$u$和$v$，都能找到一条从$u$到$v$的路径，那么就称$S$是强连通的。如果在强连通的顶点集合$S$中加入其它任意顶点集合后，它都不再是强连通的，那么就称$S$是原图的一个强连通分量（$SCC:StronglyConnectedComponent$）。
任意有向图都可以分解成若干不相交的强连通分量，这就是强连通分量分解。把分解后的强连通分量缩成一个顶点，就得到了一个$DAG$（有向无环图）。

虚线包围的部分构成一个强连通分量

2.求解强连通分量方法

• $Kosaraju$算法
  基本思路：通过两次简单的$DFS$实现。
  第一次$DFS$时，选取任意顶点作为起点，遍历所有尚未访问过的顶点，并在回溯前给顶点标号（$postorder$，后序遍历）。对剩余的未访问过的顶点，不断重复上述过程。完成标号后，越接近图的尾部（搜索树的叶子），顶点的标号越小。
  第二次$DFS$时，先将所有边反向，然后以标号最大的顶点为起点进行$DFS$。这样$DFS$所遍历的顶点集合就构成了一个强连通分量。之后，只要还有尚未访问的顶点，就从中选取标号最大的顶点不断重复上述过程。
  
  后续遍历的例子。根据搜索顺序的不同，标号结果也可能不同
  反向后的图
  算法的正确性：正如前文所述，我们可以将强连通分量缩点并得到DAG。此时可以发现，标号最大的节点就属于DAG头部（搜索树的根）的强连通分量。因此，将边反向后，就不能沿边访问到这个强连通分量以外的顶点。而对于强连通分量内的其他顶点，其可达性不受边反向的影响，因此在第二次DFS时，我们可以遍历一个强连通分量里的所有顶点。
  
  边反向后，从8、9、10号顶点只能到达其头部方向的顶点11和12。
  算法实现
  c++代码：

int V; // 顶点数
vector<int> G[MAX_V];   // 图的邻接表表示
vector<int> rG[MAX_V];  // 把边反向后的图
vector<int> vs;         // 后序遍历顺序的顶点列表
bool used[MAX_V];       // 访问标记
int cmp[MAX_V];         // 所属强连通分量的拓扑序

void add_edge(int from, int to) {
  G[from].push_back(to);
  rG[to].push_back(from);
}

void dfs(int v) {
  used[v] = true;
  for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
    if (!used[G[v][i]]) dfs(G[v][i]);
  }
  vs.push_back(v);
}

void rdfs(int v, int k) {
  used[v] = true;
  cmp[v] = k;
  for (int i = 0; i < rG[v].size(); i++) {
    if (!used[rG[v][i]]) rdfs(rG[v][i], k);
  }
}

int scc() {
  memset(used, 0, sizeof(used));
  vs.clear();
  for (int v = 0; v < V; v++) {
    if (!used[v]) dfs(v);
  }
  memset(used, 0, sizeof(used));
  int k = 0;
  for (int i = vs.size() - 1; i >= 0; i--) {
    if (!used[vs[i]]) rdfs(vs[i], k++);
  }
  return k;
}

算法时间复杂度：该算法只进行了两次DFS，因而总的复杂度是$O(|V|+|E|)$。

• $Tarjan$算法
  基本思路：$Tarjan$算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
  定义$DFN(u)$为节点$u$搜索的次序编号(时间戳)，$Low(u)$为$u$或$u$的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出：

Low(u)=Min
{
DFN(u),
Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}

当$DFN(u)=Low(u)$时，以$u$为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法流程：从节点$1$开始$DFS$，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点$u=6$时，$DFN[6]=LOW[6]$，找到了一个强连通分量。退栈到$u=v$为止，$\{6\}$为一个强连通分量。

返回节点5，发现$DFN[5]=LOW[5]$，退栈后$\{5\}$为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以$LOW[4]=1$。节点6已经出栈，$(4,6)$是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以$LOW[3]=LOW[4]=1$。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边$(2,4)$，4还在栈中，所以$LOW[2]=DFN[4]=5$。返回1后，发现$DFN[1]=LOW[1]$，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量$\{1,3,4,2\}$。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量$\{1,3,4,2\},\{5\},\{6\}$。
算法实现
c++代码：

void tarjan(int i)
{
    int j;
    DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
    instack[i]=true;
    Stap[++Stop]=i;
    for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
    {
        j=e->t;
        if (!DFN[j])
        {
            tarjan(j);
            if (LOW[j]<LOW[i])
                LOW[i]=LOW[j];
        }
        else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
            LOW[i]=DFN[j];
    }
    if (DFN[i]==LOW[i])
    {
        Bcnt++;
        do
        {
            j=Stap[Stop--];
            instack[j]=false;
            Belong[j]=Bcnt;
        }
        while (j!=i);
    }
}
void solve()
{
    int i;
    Stop=Bcnt=Dindex=0;
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    for (i=1;i<=N;i++)
        if (!DFN[i])
            tarjan(i);
}

算法时间复杂度：可以发现，运行$Tarjan$算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为$O(N+M)$。

• 两种算法的比较
  $Kosaraju$算法和$Tarjan$算法的时间复杂度都是$O(n+m)$。与$Trajan$算法相比，$Kosaraju$算法可能会稍微更直观一些。但是$Tarjan$只用对原图进行一次$DFS$，不用建立逆图，更简洁，空间复杂度更低。在实际的测试中，$Tarjan$算法的运行效率也比$Kosaraju$算法高$30\%$左右。此外，该$Tarjan$算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的$Tarjan$算法也有着很深的联系。学习该$Tarjan$算法，也有助于深入理解求双连通分量的$Tarjan$算法，两者可以类比、组合理解。

多$BB$一句：求有向图的强连通分量的$Tarjan$算法是以其发明者$RobertTarjan$命名的。$RobertTarjan$还发明了求双连通分量的$Tarjan$算法（下面要讲），以及求最近公共祖先的离线$Tarjan$算法，在此对$Tarjan$表示崇高的敬意（羡慕嫉妒恨 ）。

3.强连通分量的应用

洛谷P2341受欢迎的牛
基本思路：根据题意，只存在一个强连通分量出度为0（如果存在2个及以上，那么他的“喜欢”就不能传递出去，它也不能被所有奶牛喜欢），找出这个强连通分量并验证它是否被其它奶牛喜欢。
c++参考代码：
（$Kosaraju$版）

#include 
using namespace std;
const int maxn=1e5+7;
int n,m,ans,cnt,cmp[maxn];
bool used[maxn];
vector<int> v[maxn];
vector<int> vr[maxn];
vector<int> vs;
void add(int from,int to){
    v[from].push_back(to);
    vr[to].push_back(from);
}
void dfs(int x){
    used[x]=true;
    for(int i=0;i<v[x].size();i++){
        if(!used[v[x][i]]) dfs(v[x][i]);
    }
    vs.push_back(x);
}
void rdfs(int x,int k){
    used[x]=true;
    cmp[x]=k;
    for(int i=0;i<vr[x].size();i++){
        if(!used[vr[x][i]]) rdfs(vr[x][i],k);
    }
}
int scc(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!used[i]) dfs(i);
    }
    memset(used,0,sizeof(used));
    int k=1;
    for(int i=vs.size()-1;i>=0;i--){
        if(!used[vs[i]]) rdfs(vs[i],k++);
    }
    return k;
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    while(m--){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x,y);
    }
    int t=scc();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(cmp[i]==t-1){
            cnt=i;
            ans++;
        }
    }
    memset(used,0,sizeof(used));
    rdfs(cnt,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(cmp[i]){
            ans=0;
            break;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

（$Tarjan$版）

#include 
using namespace std;
const int maxn=1e5+7;
int n,m,idx,cnt,num,ans,head[maxn],dfn[maxn],low[maxn],id[maxn],tot[maxn],du[maxn];
bool vis[maxn];
stack<int> s;
struct node{
    int to,next;
}e[maxn];
void add(int a,int b){
    e[++cnt].to=b;
    e[cnt].next=head[a];
    head[a]=cnt;
}
void tarjan(int x){
    dfn[x]=low[x]=++num;
    vis[x]=true;
    s.push(x);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int t=e[i].to;
        if(!dfn[t]){
            tarjan(t);
            low[x]=min(low[x],low[t]);
        }
        else if(vis[t]) low[x]=min(low[x],dfn[t]);
    }
    if(dfn[x]==low[x]){
        int t;
        idx++;
        do{
            t=s.top();
            s.pop();
            vis[t]=false;
            id[t]=idx;
            tot[idx]++;
        }while(t!=x);
    }
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    while(m--){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=head[i];j;j=e[j].next){
            int t=e[j].to;
            if(id[i]!=id[t]) du[id[i]]++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=idx;i++){
        if(!du[i]){
            if(ans){
                cout<<0;
                return 0;
            }
            ans=i;
        }
    }
    cout<<tot[ans];
    return 0;
}

大家也可以比较一下两者实战的差别
$Kosaraju$：

$Tarjan$：

二、割点、割边

1.定义

在无向图中才有割边和割点的定义
割点：无向连通图中，去掉一个顶点及和它相邻的所有边，图中的连通分量数增加，则该顶点称为割点。

割边（桥）：无向联通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边，称为桥或者割边。

割点与桥（割边）的关系：

1）有割点不一定有桥,有桥一定存在割点

2）桥一定是割点依附的边。

下图中顶点C为割点，但和C相连的边都不是桥。

2.$Tarjan$算法求解图的割点、割边

判断一个顶点是不是割点除了从定义，还可以从$DFS$（深度优先遍历）的角度出发。我们先通过$DFS$定义两个概念。

假设$DFS$中我们从顶点$U$访问到了顶点$V$（此时顶点$V$还未被访问过），那么我们称顶点$U$为顶点$V$的父顶点，$V$为$U$的孩子顶点。在顶点$U$之前被访问过的顶点，我们就称之为$U$的祖先顶点。

显然如果顶点$U$的所有孩子顶点可以不通过父顶点$U$而访问到$U$的祖先顶点，那么说明此时去掉顶点$U$不影响图的连通性，$U$就不是割点。相反，如果顶点$U$至少存在一个孩子顶点，必须通过父顶点$U$才能访问到$U$的祖先顶点，那么去掉顶点$U$后，顶点$U$的祖先顶点和孩子顶点就不连通了，说明$U$是一个割点。

上图中的箭头表示$DFS$访问的顺序（而不表示有向图），对于顶点$D$而言，$D$的孩子顶点可以通过连通区域$1$红色的边回到$D$的祖先顶点$C$（此时$C$已被访问过），所以此时$D$不是割点。

上图中的连通区域$2$中的顶点，必须通过$D$才能访问到$D$的祖先顶点，所以说此时$D$为割点。再次强调一遍，箭头仅仅表示$DFS$的访问顺序，而不是表示该图是有向图。

这里我们还需要考虑一个特殊情况，就是$DFS$的根顶点（一般情况下是编号为$0$的顶点），因为根顶点没有祖先顶点。其实根顶点是不是割点也很好判断，如果从根顶点出发，一次$DFS$就能访问到所有的顶点，那么根顶点就不是割点。反之，如果回溯到根顶点后，还有未访问过的顶点，需要在邻接顶点上再次进行$DFS$，根顶点就是割点。

3.割点及桥的判定方法

以下$dfn$和$low$数组含义同求解强连通分量中的$Tarjan$算法
割点：判断顶点$U$是否为割点，用$U$顶点的$dnf$值和它的所有的孩子顶点的$low$值进行比较，如果存在至少一个孩子顶点$V$满足$low[v]>=dnf[u]$，就说明顶点$V$访问顶点$U$的祖先顶点，必须通过顶点$U$，而不存在顶点$V$到顶点$U$祖先顶点的其它路径，所以顶点$U$就是一个割点。对于没有孩子顶点的顶点，显然不会是割点。

桥（割边）：$low[v]>dnf[u]$ 就说明$V-U$是桥

需要说明的是，$Tarjan$算法从图的任意顶点进行$DFS$都可以得出割点集和割边集。

4.代码实现

【模板】割点
c++代码：

#include 
using namespace std;
const int maxn=2e5+7; //边要开两倍
int n,m,cnt,num,ans,coun,head[maxn],dfn[maxn],low[maxn];
struct node{
  int to,next;
}e[maxn];
bool ge[maxn];
void add(int a,int b){
  e[++cnt].to=b;
  e[cnt].next=head[a];
  head[a]=cnt;
}
void tarjan(int root,int x){
  dfn[x]=low[x]=++num;
  coun=0;
  for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
    int t=e[i].to;
    if(!dfn[t]){
      tarjan(root,t);
      low[x]=min(low[x],low[t]);
      if(low[t]>=dfn[x]&&root!=x){
        ge[x]=true;
      }
      if(root==x){
        coun++;
      }
    }
    low[x]=min(low[x],dfn[t]);
  }
  if(root==x&&coun>=2){ //单独处理根
      ge[x]=true;
  }
}

int main(){
  cin>>n>>m;
  while(m--){
    int x,y;
    cin>>x>>y;
    add(x,y);
    add(y,x);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(!dfn[i]) tarjan(i,i);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
  if(ge[i]) ans++;
  printf("%d\n",ans);
  for(int i=1;i<=n;i++)
  if(ge[i]) printf("%d ",i);
  return 0;
}