第六章 线性空间与线性变换 第四五节 线性变换/线性变换的矩阵表示
§6.4 线性变换
§6.5 线性变换的矩阵表示
§6.5 线性变换的矩阵表示
6.4 线性变换
设有两个非空集合 A , B A,B A,B,如果对于 A A A中任一元素 α \alpha α,按照一定的规则，总有 B B B中一个确定的元素 β \beta β和它对应，那么，这个对应规则称为从集合 A A A到集合 B B B的映射。记作 T T T. β = T ( α ) , β = T α ( α ∈ A ) \beta = T(\alpha),\beta=T\alpha(\alpha\in A) β=T(α),β=Tα(α∈A)
设 V n , U m V_{n},U_{m} Vn,Um分别是 n n n维和 m m m维线性空间， T T T是一个从 V n V_{n} Vn到 U m U_{m} Um的映射，如果映射 T T T满足：
1.任给 α 1 , α 2 ∈ V n \alpha_{1},\alpha_{2}\in V_{n} α1,α2∈Vn(从而 α 1 + α 2 ∈ V n \alpha_{1}+\alpha_{2}\in V_{n} α1+α2∈Vn),有
T ( α 1 + α 2 ) = T ( α 1 ) + T ( α 2 ) ; T(\alpha_{1}+\alpha_{2})=T(\alpha_{1})+T(\alpha_{2}); T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);
2.任给 α ∈ V n , λ ∈ R \alpha\in V_{n},\lambda\in R α∈Vn,λ∈R(从而 λ α ∈ V n \lambda\alpha \in V_{n} λα∈Vn),有
T ( λ α ) = λ T ( α ) , T(\lambda\alpha)=\lambda T(\alpha), T(λα)=λT(α),
那么， T T T就称为从 V n V_{n} Vn到 U m U_{m} Um的线性映射，或称为线性变换。
性质
1. T 0 = 0 , T ( − α ) = − T ( α ) ; T0=0,T(-\alpha)=-T(\alpha); T0=0,T(−α)=−T(α);
2.若 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m \beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m} β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm,则
T β = k 1 T α 1 + k 2 Y α 2 + ⋯ + k m Y α m ; T\beta=k_{1}T\alpha_{1}+k_{2}Y\alpha_{2}+\cdots+k_{m}Y\alpha_{m}; Tβ=k1Tα1+k2Yα2+⋯+kmYαm;
3.若 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} α1,α2,⋯,αm线性相关，则 T α 1 , T α 2 , ⋯ , T α m T\alpha_{1},T\alpha_{2},\cdots,T\alpha_{m} Tα1,Tα2,⋯,Tαm也线性相关
4.线性变换 T T T的像集 T ( V n ) T(V_{n}) T(Vn)是一个线性空间，称为线性变换 T T T的像空间；
5.使 T α = 0 T\alpha=0 Tα=0的 α \alpha α全体
S T = { α ∣ α ∈ V n , T α = 0 } , S_{T}=\{\alpha|\alpha\in V_{n},T\alpha=0\}, ST={α∣α∈Vn,Tα=0},
也是一个线性空间， S T S_{T} ST称为线性变换 T T T的核。
6.5 线性变换的矩阵表示
设 T T T是线性空间 V n V_{n} Vn中的线性变换，在 V n V_{n} Vn中取定一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} α1,α2,⋯,αn,如果这个基在变换 T T T下的像(用这个基线性表示)为：
{ T ( α 1 ) = a 11 α 1 + a 21 α 2 + ⋯ + a n 1 α n , T ( α 2 ) = a 12 α 1 + a 22 α 2 + ⋯ + a n 2 α n , ⋯ ⋯ T ( α n ) = a 1 n α 1 + a 2 n α 2 + ⋯ + a n n α n , \begin{cases} T(\alpha_{1})=a_{11}\alpha_{1}+a_{21}\alpha_{2}+\cdots+a_{n1}\alpha_{n},\\ T(\alpha_{2})=a_{12}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{n2}\alpha_{n},\\ \cdots\cdots\\ T(\alpha_{n})=a_{1n}\alpha_{1}+a_{2n}\alpha_{2}+\cdots+a_{nn}\alpha_{n}, \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧T(α1)=a11α1+a21α2+⋯+an1αn,T(α2)=a12α1+a22α2+⋯+an2αn,⋯⋯T(αn)=a1nα1+a2nα2+⋯+annαn,
其中 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) , A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right), A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞,那么， A A A就称为线性变换 T T T在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} α1,α2,⋯,αn下的矩阵。
定理
设线性空间 V n V_{n} Vn中取定两个基
α 1 , α 2 , ⋯ , α n ; β 1 , β 2 , ⋯ , β n , \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n};\\ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}, α1,α2,⋯,αn;β1,β2,⋯,βn,
有基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} α1,α2,⋯,αn到基 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵 P P P, V n V_{n} Vn中的线性变换 T T T在这两个基下的矩阵依次为 A A A和 B B B,那么 B = P − 1 A P . B=P^{-1}AP. B=P−1AP.
线性变换 T T T的像空间 T ( V n ) T(V_{n}) T(Vn)的维数，称为线性变换 T T T的秩。
《线性代数》同济大学第五版笔记