(3.10)James Stewart Calculus 5th Edition:Related Rates


Related Rates 变化率相关

这节,大体就是 变化率相关的题目
对应的分析 和 解题过程

题目1

一个球,体积增长速度为 100 cm^3/s, 求 这个球直径在50cm的时候,对应半径的增长变化率是多少?
分析
我们知道:


求:

也就是把对应的 dV/dt 想办法转化成 dr/dt

球的体积为:

对应单位时间,体积的变化率 转化为 半径和时间的变化率

这个时候,我们就知道
dV/dt 和 dr/dt 之间的关系了
这个时候,我们是求 dr/dt
所以,

当 体积增长速度为 100 cm^3/s,直径为50cm,也就是 半径为25cm的时候

(3.10)James Stewart Calculus 5th Edition:Related Rates_第1张图片
题目2

一个10ft长的梯子靠在数值的墙上,问在墙底的那部分,速度是 1ft/s,墙底部分长度为 6ft 的时候,顶部梯子对应的速度是多少?

也就是 知道下面长度为 6 ft, 并且 对应的速度为 1ft/s的时候
求 上端的速度。
具体分析,见下面,也可以见图:
已知:
dx/dt = 1
x = 6 ft
求:
dy/dt = ?

(3.10)James Stewart Calculus 5th Edition:Related Rates_第2张图片
(3.10)James Stewart Calculus 5th Edition:Related Rates_第3张图片

大体可以知道, 滑落的临界点,梯子长10ft, y为 8ft, x为 6ft
整个过程中, x^2 + y^2 = 10^2

即:

链式法则,求导得:

化简后,得:

(3.10)James Stewart Calculus 5th Edition:Related Rates_第4张图片

我们知道,临界点, x=6, y=8, 对应的 x方向速度为 1ft/s
可以得到:

就是对应的结果。

例子3

大体为, 半径为2,高度为4的椎体。一直以 2m^3/min的速度灌入水,求高度为3m的时候,对应涨高的速度为多少?

(3.10)James Stewart Calculus 5th Edition:Related Rates_第5张图片

分析:
已知r=2, h=4, dV/dt = 2,求dh/dt ?
也就是把 dV/dt 转化成 dh/dt 。

简单可以知道对应的体积公示:

还有 半径和高的比例:

因为剩下都是 体积V 和 高度h之间的关系,
于是将r转换为h


都对t求微分,可以得到:

化简后,dh/dt为:

当h=3的时候, 我们看得到结果:

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