线性结构 —— 单调栈与单调队列

【单调栈】

1.原理

单调栈，就是栈内元素保持一定单调性（单调递增或单调递减）的栈，即从栈底到栈顶单调递增或递减。

对于单调递增的栈，如果栈为空或入栈元素值大于等于栈顶元素值，则入栈；否则，若入栈会破坏栈的单调性，因此需要将比入栈元素大的元素全部出栈。

对于单调递减的栈，如果栈为空或入栈元素值小于等于栈顶元素值，则入栈；否则，若入栈会破坏栈的单调性，因此需要将比入栈元素小的元素全部出栈。

以下图单调递减的栈为例，从栈顶到栈底初始元素为：6、4、2、1

当插入的元素小于等于栈顶元素时，满足单调递减的条件，可直接加入栈，例如：插入元素 0，可直接加到栈顶

当插入的元素大于等于栈顶元素时，为满足单调递减的性质，需要从栈顶开始，将比入栈元素小的值全部弹出再入栈，例如：插入元素 3，需要先将 1、2 弹出

2.应用

单调栈常用的应用有：

• 给定一组数，对于某个数，找到从左/右遍历第一个比它小/大的元素的位置
• 给定一组数，针对每个数，寻找其与其左/右第一个比它小/大的数之间有多少个数
• 给定一序列，寻找某一子序列，使得子序列中的最小值乘以子序列的长度最大
• 给定一序列，寻找某一子序列，使得子序列中的最小值乘以子序列所有元素和最大

3.实现

1）单调递增栈

 stack S;
 for(int i=1;i<=n;i++){
     while(!S.empty()&&a[S.top()]>a[i]){//栈不为空且栈顶元素大于入栈元素时
        S.pop();//将栈顶大于入栈元素的元素出栈
        ...//更新结果
     }
     S.push(i);//元素入栈
}

2）单调递减栈

 stack S;
 for(int i=1;i<=n;i++){
     while(!S.empty()&&a[S.top()]

【单调队列】

1.原理

单调队列就是从队首到队尾满足单调性的队列，与单调栈极其相似，其基本原理与单调栈相同，只需将单调栈先进后出的性质改为先进先出的性质即可。 

对于单调递增的队列，若队列为空或入队元素 x 大于等于队尾元素，则入队；否则，入队会破坏队列的单调性，因此需要将队尾中比入队元素 x 大的元素全部出队。

对于单调递减的队列，若队列为空或入队元素 x 小于等于队尾元素，则入队；否则，入队会破坏队列的单调性，因此需要将队尾中比入队元素 x 小的元素全部出队。

2.应用

单调队列的常用应用有：

• 给出一组数，求这组数中第一个大/小于等于一个数 x 的数
• 维护单调性，从而解决区间内最小/大的问题
• 解决滑动窗口问题
• 优化多重背包 DP、斜率优化 DP

3.实现

单调队列一般使用 STL 的 deque(双端队列) 实现即可，由于双端队列即可再队首操作又可在队尾操作，那么这样的性质就弥补了单调栈只可在尾端操作的不足，使得首段也有了一定的限制。

1）单调递增队列

deque Q://双端队列
for(int i=1;i<=n;i++){
    while((!Q.empty())&&Q.back()>A[i]){//队列不为空且队尾元素大于入队元素时
       Q.pop_back();//将队列尾端大于入队元素的元素出队
       ...//更新结果
    }
    q.push_back(A[i]);//元素入队
    ...//更新结果
}

2）单调递减队列 

deque Q://双端队列
for(int i=1;i<=n;i++){
    while((!Q.empty())&&Q.back()

【例题】

• City Skyline（POJ-3044）(单调栈)：点击这里
• Bad Hair Day（POJ-3250）(单调栈)：点击这里
• Largest Rectangle in a Histogram（HDU-1506）(左右两次单调栈)：点击这里
• Passing the Message（HDU-3410）(左右两次单调栈)：点击这里
• Non-negative Partial Sums（HDU-4193）(单调队列)：点击这里
• Second My Problem First（HDU-3706）(单调队列)：点击这里
• Beauty Of Unimodal Sequence（HDU-6592）(LIS+单调栈)：点击这里