红黑树的插入与删除

本文着重介绍了红黑树的插入和删除操作，由于网上很多介绍红黑树的博文只介绍操作过程，而不解释为什么进行该操作，或者仅仅用“符合红黑树的五个性质”一带而过，令人费解。因此，本文在介绍各种插入和删除操作的同时，会详细解释各个操作的作用。希望本文能够帮助你快速理解红黑树的插入和删除过程。（本文图片来自维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Red_black_tree）

1、定义

红黑树是一种高度平衡的二叉搜索树，包含5个性质：

(1) 节点不是红的，就是黑的。

(2) 根节点是黑的。

(3) 所有叶子节点都是黑的（叶子是NIL节点）。

(4) 每个红色节点的两个子节点都是黑的。（从根到叶子节点的所有路径上都不能有两个连续的红色节点）

(5) 从任一节点到其每个叶节点的所有路径都包含相同数量的黑色节点。

       

   注意，红黑树是高度平衡，而不是绝对平衡。由性质4、5可知，两个子树的黑色节点数量相同，当一棵子树没有红色节点，而另一棵子树有尽可能多的红色节点时，两棵子树最大的高度差只有2倍。

2. 数据结构

   红黑树的每个节点都包含了四个基本属性，分别是颜色（默认是黑色）、父节点、左子结点、右子节点。以下摘自红黑树在STL的结构定义：

typedef bool _Rb_tree_Color_type;

const _Rb_tree_Color_type _S_rb_tree_red = false;

const _Rb_tree_Color_type _S_rb_tree_black = true;

 

struct _Rb_tree_node_base

{

  typedef _Rb_tree_Color_type _Color_type;

  typedef _Rb_tree_node_base* _Base_ptr;

 

  _Color_type _M_color;

  _Base_ptr _M_parent;

  _Base_ptr _M_left;

  _Base_ptr _M_right;

......

};

3. 插入操作

   插入点应设为红色，不能是黑色。因为插入黑色点，将破坏性质5。但如果插入点的父节点也是红色，不也破坏了性质4？是的，但考虑到恢复性质4比恢复性质5更简单，因此插入红色节点。当性质被破坏时，通过重新着色和旋转进行恢复。为描述方便，插入节点为N（红色），父节点为P，祖父节点为G，叔叔节点为U。所有插入情况如下：

   case 0.0：该树为空树，直接插入根节点，此时违反性质2，将节点改为黑色即可。

   case 0.1 : 插入点N的父节点P为黑色，不违反任何性质（注意，根据二叉查找树的性质，N的两个子节点都为叶节点），结束。

   当父节点P为红色时，违反性质4，分三种情况调整（此时N为红，P为红，有G且G一定为黑）：

   case 1：叔叔节点U为红，如图：

       

   操作：P、U变为黑，G变为红。

   解析：子树恢复了性质4，但是G的父节点可能为黑，也可能为红。如果G的父节点为黑，则结束；如果为红，就把G作为起始点，向上检索，根据case1、2、3继续处理。（如果处理到最后，根节点变为红色，则把根节点再改为黑色即可）

   case 2：U为黑，N为P的左孩子，P为G的左孩子（或者N为P的右孩子，P为G的右孩子，即同向），如图：

    

   操作：P和G交换颜色，并右旋。（对于N、P都为右情况，此处是左旋）

   解析：P变为黑色后，左子树恢复了性质4；接着，右旋使P处于G最初的位置，而G变为红色后不影响右子树的黑色节点个数。结束。

   case 3：U为黑，N为P的右孩子，P为G的左孩子（或者N为P的左孩子，P为G的右孩子，即反向），如图：

   操作：左旋。（对于N为左、P为右的情况，此处是右旋）

   解析：左旋后，P、N交换了上下的位置，且都为左孩子，此时变成了case 2，继续进行case 2的操作即可。

4. 删除操作

    二叉查找树的删除有个技巧：先查找到要删除的节点X，然后找到它左子树的最大元素节点N或右子树的最小元素节点N（N最多只有一个非叶子节点），用N的值替换X的值；而N的位置则用它的子节点替换即可。为描述方便，N为替换节点，P为N的父节点，S为N的兄弟节点，SL、SR分别为S的左右子节点。具体删除情况分类如下：

    case 0.0：N为红色节点，那么N的两个子节点一定为NIL（黑色），直接删除N即可，不违反任何性质。

    case 0.1：N为黑色节点，且有一个非叶子结点M，那么M一定为红色，且两个子节点一定为NIL，此时用M替换N，将M的颜色改为黑即可。

   当N为黑，且两个子节点都为NIL时，删除N使通过N的路径少了一个黑色节点，破换了性质5，分五种情况讨论：

   case 1：兄弟节点S为红（此时，P、SL、SR一定为黑），如图：

   操作：P和S交换颜色，并左旋。

   解析：该操作只是使N的父节点变为红色，但是通过N的路径仍然少了一个黑点，因此需要根据case3、4、5继续调整。

   case 2：S、SL、SR、P都为黑，如图：

   操作：S变为红。

   解析：S变为红之后，通过S的路径少了一个黑节点，使P左右子树的黑节点个数相等。但是通过P的路径比不通过P的路径少了一个黑色节点，因此要以P为起始点，向上递归处理。

   case 3：S、SL、SR都为黑，但P为红，如图：

   操作：P和S交换颜色。

   解析：此时通过N的路径多了一个黑色节点（P），同时，通过S的路径的黑色节点个数不变，不违反所有性质，结束。

   case 4：N为P的左孩子，S为黑，SR为红，P和SL任意颜色，如图：

   操作：P和S交换颜色，左旋，并把SR变为黑。

   解析：此时通过N的路径多了一个黑色节点（P）；而S和P交换颜色并左旋之后，使通过S的路径少了一个黑色节点，但由于SR由红变成了黑色，因此通过S的路径的黑色节点个数不变，结束。

   case 5：N为P的左孩子，S、SR都为黑，SL为红，P任意颜色，如图：

   操作：SL和S交换颜色，并右旋。

   解析：由于这种情况下无法通过case 4的操作来调整好，因为SR本身就是黑色，不能由红变黑，增加黑色节点个数。因此，通过SL和S交换颜色并右旋，使SL处于S的最初位置，并且SL的右孩子为红色，变成了case 4。