计算机组成原理学习笔记（四）

无符号数和有符号数

无符号数

寄存器的位数：反映无符号数的表示范围

有符号数

注：以下表示法中x为真值，n为整数位数

• 原码表示法

1. 整数

2. 小数

• 补码表示法

1. 整数

2. 小数

• 反码表示法

1. 整数

2. 小数

• 移码表示法
  用于判断有符号数大小及浮点数阶码大小(补码表示很难直接判断其真值大小)

• 移码和补码的比较
  补码与移码只差一个符号位，即改变补码符号位即可得到移码（求移码的快捷方式）

	设 x = +1100100
		[x]移 = 2^7 + 1100100
		[x]补 = 0,1100100
	设 x = –1100100
		[x]移 = 2^7 – 1100100
		[x]补 = 1,0011100

数的定点表示和浮点表示

定点表示

	小数定点机	整数定点机
格式	Sf.S1S2 …Sn 数符.数值部分	SfS1S2 …Sn. 数符数值部分.
原码	-(1-2-n) ~ +(1-2-n)	-(2n-1) ~ +(2n-1)
补码	-1 ~ +(1-2-n)	-2n ~ +(2n-1)
反码	-(1-2-n) ~ +(1-2n)	-(2n-1) ~ +(2n-1)

浮点表示

• 公式
  N = S × r^j
  S：尾数，j：阶码，r：尾数的基值
  当r = 2时，N = 11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰ = 0.00110101× 2¹⁰⁰
• 浮点数的表示形式
  j_f j₁ j₂ … j_m . S_fS₁S₂ …S_n
  S_f：代表浮点数的符号
  n：其位数反映浮点数的精度
  m：其位数反映浮点数的表示范围
  j_f和 m 共同表示小数点的实际位置

例一：设机器数字长为 24 位，欲表示±3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1 位外，阶码、尾数各取几位？
解：因为 2¹⁴ = 16384，2¹⁵ = 32768
可知阶码为15可表示±3万的十进制数，15₁₀ = 1111₂
在保证最大精度前提下，m需要尽可能小
所以m = 4，n = 21-4-1-1 = 18

• 浮点数的表示范围

	范围
最小负数	-2a× (1-2-n)，a = 2m-1
最大负数	-2a× 2-n，a = - (2m-1)
最小负数	2a× 2-n，a = - (2m-1)
最小负数	2a× (1-2-n)，a = 2m-1

• 浮点数的规格化形式
  r = 2 尾数最高位为 1
  r = 4 尾数最高 2 位不全为 0
  r = 8 尾数最高 3 位不全为 0
  基数不同，浮点数的规格化形式不同
• 浮点数的规格化
  r = 2
  左规 尾数左移 1 位，阶码减 1
  右规 尾数右移 1 位，阶码加 1
  r = 4
  左规 尾数左移 2 位，阶码减 1
  右规 尾数右移 2 位，阶码加 1
  r = 8
  左规 尾数左移 3 位，阶码减 1
  右规 尾数右移 3 位，阶码加 1
  基数 r 越大，可表示的浮点数的范围越大
  基数 r 越大，浮点数的精度降低

例一
将+19/128写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式，其中数值部分均取 10 位，数符取 1 位，浮点数阶码取 5 位（含1位阶符），尾数规格化。
解：

	设 x = +19/128，
	二进制形式			x = 0.0110011
	定点表示				x = 0.0110011000
	浮点规格化形式		x = 0.1100110000 × 2^-10
	定点机中				[x]原 = [x]补 = [x]反 = 0.0010011000
	浮点机中				[x]原 = 1, 0010; 0.1001100000
						[x]补 = 1, 1110; 0.1001100000
						[x]反 = 1, 1101; 0.1001100000

例二
将 –58 表示成二进制定点数和浮点数，并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码为移码、尾数为补码的形式（其他要求同上例）。
解：

	设 x = –58
	二进制形式			x = –111010
	定点表示				x = -0000111010
	浮点规格化形式		x = 0.1110100000 × 2^110
	定点机				[x]原 = 1,0000111010
						[x]补 = 1,1111000110
						[x]反 = 1,1111000101
	浮点机				[x]原 = 0, 0110; 1. 1110100000
						[x]补 = 0, 0110; 1. 0001100000
						[x]反 = 0, 0110; 1. 0001011111
						[x]阶移、尾补 = 1, 0110; 1. 0001100000

• 机器零
  当浮点数尾数为 0 时，不论其阶码为何值按机器零处理
  当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小数时，不论尾数为何值，按机器零处理

定点运算

移位运算

• 算术移位规则
  符号位不变，移动数值位

	码制	添补代码
正数	原码、补码、反码	0
负数	原码 补码 反码	0 右移添 1，左移添 0 0

• 加减法运算
  连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉

1. 加法
   整数：[A]补 + [B]补 = [A+B]补（mod 2ⁿ+1）
   小数：[A]补 + [B]补 = [A+B]补（mod 2）
2. 减法
   A–B = A+(–B )
   整数：[A – B]补 = [A+(–B )]补 = [A]补 + [ – B]补 (mod 2ⁿ+1)
   小数：[A – B]补 = [A+(–B )]补 = [A]补 + [ – B]补 (mod 2)
3. 溢出判断
   (1)一位符号位判溢出：
   参加操作的两个数（减法时即为被减数和“求补” 以后的减数）符号相同，其结果的符号与原操作数的符号不同，即为溢出
   (2)两位符号位判溢出：
   首先用2ⁿ⁺²模（小数用4），求补码
   如-97，-41，补码为11,0011111，11,1010111
   相加后结果双符号位相同则未溢出，若不同则溢出；双符号位最高位代表真正符号

• 乘法运算
  采用加法和移位实现
  A • B = A • 0.1011
  = 0.1A + 0.00A + 0.001A +0.0001A
  = 0.1A + 0.00A + 0.001( A +0.1A)
  = 0.1A + 0.01[0 • A + 0. 1( A +0.1A)]
  = 0.1{A +0.1[ 0 • A+0.1(A + 0.1A)]}
  = 2^-1{1•A +2-1[ 0 • A+2-1(1•A + 2-1(1•A+0))]}