二次剩余的判断(欧拉准则)

在数论中,特别在同余理论裏,一个整数 XX 对另一个整数 pp 的二次剩余(英语:Quadratic residue)指XX 的平方X2X2 除以 pp 得到的余数。

当对于某个d及某个X,式子X2≡d(modp)成立时,称“d是模pd及某个X,式子X2≡d(modp)成立时,称“d是模p的二次剩余”

当对于某个d及某个X,X2≡d(modp)不成立时,称“d是模pd及某个X,X2≡d(modp)不成立时,称“d是模p的二次非剩余”

欧拉准则:
若p是奇质数且p不能整除d,则:
d是模p的二次剩余当且仅当:

$d^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)$

d是模p的非二次剩余当且仅当:

$d^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)$

以勒让德符号表示,即为:

$d^{\frac{p-1}{2}}\equiv (\frac{d}{p}) (mod p)$

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