【线代】线性方程组：非齐次/齐次方解的个数、系数矩阵的秩、未知数个数的关系？为什么 Ax=0 比 Ax=b 少1个线性无关的解？

目录

一、起因

二、概念理解

1. Ax=0 基础解系

2. Ax=b 线性无关解的个数

3. 为什么 Ax=0 比 Ax=b 少1个线性无关的解？

三、解题

四、小结

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一、起因

上一篇文章主要讲了线性方程组求解时，不同对解的问法是什么含义。

今天这篇主要是针对一个问题。齐次方程中，s=n - r(A)，即基础解系的解的个数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩。

那么非齐次方程组，是否存在类似关系呢？

二、概念理解

1. Ax=0 基础解系

基础解系，是齐次方程解集的极大线性无关组，所以解集中线性无关解个数的最大值，也就是基础解系中解的个数！

注：基础解系是针对齐次方程的概念。

2. Ax=b 线性无关解的个数

非齐次方程解集中，线性无关解的个数的最大值，就是基础解系中解的个数 + 一个特解。

因为，设基础解系为α1、α2，那么 Ax=b 的通解为 k1α1+k2α2+η，此时k1、k2任意取值，可以都为0。Ax=b 解集的极大线性无关组是 {α1+η，α2+η，η}，也等于 {α1，α2，η}。

3. 为什么 Ax=0 比 Ax=b 少1个线性无关的解？

上述已经解答，是因为少了个特解，且这个特解与 Ax=0 的通解必线性无关。

因为齐次方程的通解，代入后都满足 Ax=0。特解如果与它们线性相关，代入后 Ax=0 成立，这就不是非齐次的特解了。

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《非齐次线性方程和齐次方程中，解的个数、系数矩阵的秩、未知数个数有什么关系？》：https://zhidao.baidu.com/question/650780316612368365.html

一个例题：https://wenku.baidu.com/view/346b86186d175f0e7cd184254b35eefdc8d315be.html

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三、解题

原题来自《接力题典1800（数学三）》的四、线性方程组

此题给出了非齐次方程组的3个解，且线性无关（这里线性无关是检验出来的！可假设aη1+bη1+η3=0，若无关a=b=c=0，即方程只有0解。经检验，r(B)=3

这3个解是 Ax=b 的，所以 Ax=0 就可得到2个（比非齐次少了一个）线性无关解（通过两两作差可得）。

有3个解，不一定恰好是3个，说明至少3个线性无关解。所以是 s=4-r(A)≥2，即 r(A)≤2。又因为观察得知 r(A)≥2（如第2、3行不行比例，或是第1、3列不成比例），所以夹逼得出 r(A)=2。基础解系就是2个，可以放心得出答案。

四、小结

1. Ax=0 解集的极大线性无关组是基础解系，设为{α1，α2，…，αi，…}。

2. Ax=b 解集的极大线性无关组是 {α1+η，α2+η，…，αi+η，…，η}，也等于 {α1，α2，…，αi，…，η}。

3. 齐次线性方程，r{α1，α2，…，αi，…} = 基础解系的解的个数 s=n-r。

非齐次线性方程，r{α1，α2，…，αi，…，η}=线性无关解的个数的最大值 = 基础解系解的个数 + 一个特解 = n-r+1。