HDU3366Coprime 二分法+容斥原理

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题意

求第k个与n，m都互素的正数（0 < m, n, k <= 10^9)

题解

使用二分法查找元素
二分0~（1LL< 求[1,x]中与n,m的互素个数
用容斥原理求[1,x]中可以被几个数整除的数的个数

1. 预处理求素数（素数筛模板 longlong）
2. 求n,m因子：遍历素数分别求n,m的因子（不包含1，n，m）+使用unique（）去重。
3. ans = SUM(X/奇数个因子之积）-SUM(X/偶数个因子之积）
   例：[1,10]中可以被2，3整除的数有 10/2+10/3-10/6

注意点

4. 范围是long long 凡是与long long 类型进行运算（比较，加减乘除，赋值）的都要设置为long long 变量。（1LL<
5. long long double 数组最多开1e6
6. 二分法查找元素：判断条件/循环边界 的取等
7. 求互素个数遍历边界 i*i <= n（小于等于）

代码积累

1. 欧拉素数筛

long long prime[MAXN], tot;
long long check[MAXN];
void eular(){
    memset(check, 0, sizeof(check));
    tot = 0;
    for(int i = 2; i<MAXN; i++){
        if(!check[i])
            prime[tot++] = i;
         for(int j = 0; j<tot && prime[j]*i<MAXN; j++){
            check[i*prime[j]] = 1;//素数的倍数为合数
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

2. 求一个数的因子

for(long long i = 0;prime[i]*prime[i] <=m; i++){
        if(m%prime[i] == 0){
            fac[cnt1++] = prime[i];
            while(m%prime[i] == 0) m/=prime[i];
        }
    }
    if(m > 1) fac[cnt1++] = m;

3. 用容斥原理求[1,x]中可以被几个数整除的数的个数（状态压缩遍历各种选择）

long long RC(long long x){
    long long ret = 0, tmp, cnt;
    for(long long  i = 1; i<(1LL<<cnt1); i++){
        tmp = 1, cnt = 0;
        for(long long j = 0; j<cnt1; j++){
            if(i&(1LL<<j)){
                tmp *=fac[j];
                cnt++;
            }
        }
        if(cnt&1) ret += x/tmp;
        else ret -= x/tmp;
    }
    return ret;
}

AC代码

#include 
using namespace std;
#define MAXN 1000005
long long fac[MAXN], cnt1;
long long prime[MAXN], tot;
long long check[MAXN];
long long n, m, k;
void eular(){
    memset(check, 0, sizeof(check));
    int tot = 0;
    for(int i = 2; i<MAXN; i++){
        if(!check[i])
            prime[tot++] = i;
         for(int j = 0; j<tot && prime[j]*i<MAXN; j++){
            check[i*prime[j]] = 1;//素数的倍数为合数
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}
void getFac(long long n, long long m){
    cnt1 = 0;
    for(long long i = 0;prime[i]*prime[i] <=n; i++){
        if(n%prime[i] == 0){
            fac[cnt1++] = prime[i];
            while(n%prime[i] == 0) n/=prime[i];
        }
    }
    if(n > 1) fac[cnt1++] = n;
    for(long long i = 0;prime[i]*prime[i] <=m; i++){
        if(m%prime[i] == 0){
            fac[cnt1++] = prime[i];
            while(m%prime[i] == 0) m/=prime[i];
        }
    }
    if(m > 1) fac[cnt1++] = m;
    sort(fac, fac+cnt1);
    int tmp = unique(fac, fac+cnt1) - fac;
    cnt1 = tmp;
}
//状态压缩所有的因子组合，[1,x]中不是互素的数有x/因子*因子，容斥原理排除重复
long long RC(long long x){
    long long ret = 0, tmp, cnt;
    for(long long  i = 1; i<(1LL<<cnt1); i++){
        tmp = 1, cnt = 0;
        for(long long j = 0; j<cnt1; j++){
            if(i&(1LL<<j)){
                tmp *=fac[j];
                cnt++;
            }
        }
        if(cnt&1) ret += x/tmp;
        else ret -= x/tmp;
    }
    return ret;
}
long long DS(){
    long long l = 0, r = (1LL<<62), mid, ans;
    while(l <= r){
        mid = (l+r) / 2;
        if(mid - RC(mid) >= k){
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }else{
            l = mid + 1;
        }
    }
    return ans;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    eular();
    int t;scanf("%d", &t);
    for(int cnt = 1; cnt<=t; cnt++){
        scanf("%lld%lld%lld", &m, &n, &k);

        getFac(m, n);
        printf("Case %d: %lld\n", cnt,DS());

    }
    return 0;
}