分组背包

问题描述
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个,同一组内的物品最多只能选一个。

每件物品的体积是 vij,价值是 wij,其中 i 是组号,j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包,可使物品总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N,V,用空格隔开,分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 N 组数据:

  • 每组数据第一行有一个整数 Si,表示第 i 个物品组的物品数量;
  • 每组数据接下来有 Si 行,每行有两个整数 vij, wij,用空格隔开,分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值;

输出格式
输出一个整数,表示最大价值。

数据范围
0 < N, V ≤ 100
0 < Si ≤ 100
0 < vij, wij ≤ 100

输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例
8


1、朴素解法:

#include 
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j ++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            for (int k = 1; k <= s[i]; k ++)
                if(j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

2、空间优化

由于在运算过程中只用到第 i-1 列的状态,所以我们要从大到小枚举背包容量。

#include 
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j ++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = m; j >= 0; j --)
            for (int k = 1; k <= s[i]; k ++)
                if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

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