虚数的几何意义

虚数这个概念一直困扰着我。就和神秘的常数 e 一样,大多数解释都无非是以下两种套路:
它是一个数学概念,用来套套公式就行。
它在高等物理里面才会用到,所以别担心,到大学你就明白了。

如此教学怎么能激发出孩子学习数学的热情呢!所以今天我们将借助以下几种工具来攻克虚数这个概念:
关注数学概念间的联系,而非公式。
将虚数概念的引进看做 数学系统的扩展,就像 零、小数、负数的概念一样。
还有我们的秘密武器:类比式的学习。我们将从虚数的前辈,负数开始讨论。负数与虚数的比较如下(图就不翻了哈哈): 虚数的几何意义_第1张图片
如果这会儿还看不懂,那就暂时先放一边。到最后我们会把一切都弄清楚的。
情景回放:
我们真的理解负数吗?
负数的概念并不简单。想象自己是1700年的一个欧洲数学家。你有3和4,你可以知道4-3=1.很简单。但是3-4 该怎么办?这个运算到底什么意思呢?你怎么能从3头牛中拿走4头牛?你如何拥有比 没有还少的东西?

负数曾被认为荒谬之极,它“玷污了整个等式理论”(Francis Maseres, 1759)而今天,认为负数不合逻辑而且没用才是荒谬的。问问你数学老师负数有没有颠覆数学的根基。
为什么呢?我们创造了一个 有用的 理论数。负数看不见摸不着,但是却能很好地描述一些特定的关系(如债务)。所以它是有用的。
比如说“我欠你30”,如果要记下来的话,我会写下“-30”,说明我欠了钱。
如果我挣了钱,还了债,(-30+100=70)我可以很容易把交易过程记录下来,现在我有+70,说明我没有欠债。
正数和负数自动地跟随着方向,你不必特意去描述每次交易的作用。计算也变得更简单,更优雅。负数是否是“有形的”并不重要,它很有用处,也成为了我们日常计算的一部分。
但负数概念的却来之不易:这是一场宏大的思想变革,即使是欧拉,发现了 e 常数及其他伟大成就的数学巨人,也不能像今天的我们一样理解负数。
今天我们的孩子需要理解数百年前困扰过古代数学家的数学概念,这说明了我们的理解力还有很大的潜能。

直面虚数
虚数有着相似的身世。我们很容易求出这样的方程解: displaystyle{x^2 = 9}
答案是3和-3 。但是假如有个家伙在方程里面加一个小小的负号: displaystyle{x^2 = -9}
很多人第一次看到这个方程的时候都懵了。你想让一个数的平方小于零?太荒唐了!
看起来的确很疯狂,就像 负数,零,无理数,刚进入人们视野时一样。这个方程看起来毫无意义,不是吗?
你错了。所谓的“虚数”和其他数一样正常,它们同样是描述世界的工具。只要 -1,0.3,和0 存在,就让我们假设存在一个数使得 displaystyle{i^2 = -1}
一个数乘以它本身等于-1,这是怎么回事呢?
好吧,这确实有点头疼。“让我们假装它存在”的把戏的确让数学变得简单又优雅。新的逻辑可以更轻松地描述某个概念。
你可能不接受i的存在,就像当年那些古板的数学家不接受-1一样。

新颖,费脑的概念总是不能立即被人理解,即使他是欧拉。但如同负数那样,这些陌生的概念仍然有它的用处。我不喜欢管它叫“虚数”,这简直是种侮辱、讽刺,令人扫兴。数字 i和别的数字一样,但是“虚数”的叫法沿袭下来,所以我们还是如此称呼它。


负数和复数的图形化理解

等式x^2=9意味着:

displaystyle{1 cdot x^2 = 9}

变换x 为何值时,经过两次变换能将1变成9?

答案是"x=3"和"x=-3"。

现在看看方程x^2=-1,经过什么变换x两次后,1变成了-1?

把一个正数平方显然不对,因为结果是正数。

把一个负数平方也不对,两个负数相乘结果会翻转成正数。

但如果进行的是旋转变换呢!听起来不靠谱,但是想象一下x代表“旋转90度”,经过两次x变换可以得到一个180度的旋转,正好把1翻转成-1!虚数的几何意义_第2张图片

再想想,我们还可以从其他方向讲1 变成-1 ,“负”旋转或者乘以 -i

虚数的几何意义_第3张图片

如果我们两次 乘以 -i,就会把 1 变成 -i ,把 -i 变成 -1 所以-1 的平方根是 i和 - i。

看上去很酷。我们已经有了方程的解,但是它有什么用呢?

i 是用来衡量数字 的一个“新的虚构维度”

i 或-i 代表了经过旋转后的数字。

乘以 i 代表 旋转逆时针90度

乘以 -i代表旋转顺时针90度

经过同一方向的两次旋转后结果为 -1 ,回到了只有正数和负数的”正常“维度。


数字是二维的。有点伤脑筋,想当年分数和长除法也让古罗马的人伤透了脑筋(1和2 之间才不会还有数字呢!)。

当我们提问”如何用两步把1 变成-1 ?“,我们已经有了答案:经过两次90度旋转。这是一种思考数字的全新视角。但是它很管用(顺便提一下,复数运算的几何意义在复数出现几十年后才被发现)。出于习惯我们规定逆时针旋转90度为正。


找规律

我们再深入一点。当你连乘一个负数(如-1),你会得到形如:

1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1的数列

因为-1 不会改变数字的大小,只会改变符号,运算结果会在正负间不来回变换。对于任意数“x”,你可以得到数列:

x, -x, x, -x, x, -x…

数x 可以代表周期,假设周期在 好坏之间来回变换,如果此时是一个好的周期,那么47个周期之后会是好还是坏呢?

-x代表了坏周期。注意负数是如何保持符号的——我们把 -1^47按进计算器里而不需要掰着手指头算(老外真SB。)

现在如果我们连乘 i会怎么样呢?

对数列求值

displaystyle{1 = 1}

displaystyle{i = i}

displaystyle{i^2 = -1}

displaystyle{i^3 = (i cdot i) cdot i = -1 cdot i = -i}(三次逆时针旋转等于一次顺时针旋转)

displaystyle{i^4 = (i cdot i) cdot (i cdot i) = -1 cdot -1 = 1}(四次旋转得到一个完整的周期)

displaystyle{i^5 = i^4 cdot i = 1 cdot i = i}(新的周期)

表达成图形就是:

虚数的几何意义_第4张图片

四个旋转为一周期。明白了吗?小孩子都知道4个转向与没转时方向一样。在看下面这个数列:

X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

如同负数的翻转模式一样,虚数可以使一个数在两个维度“X”和"Y"之间旋转。

理解复数

一个数有可能即是“实”的,又是“虚”的吗?

当然。谁说我们只能转90度?如果我们有一个数它是实部为1,虚部也为1,看上去是这样:

虚数的几何意义_第5张图片

我们就有了一个45度角,它的实部和虚部大小相等。

事实上我们可以用虚数和实数的结合来代表角度。这个角 的意义是“旋转角”。既有实部又有虚部的数称为复数,写作a+ib 的形式。

a 是实部,b是虚部。

虚数的几何意义_第6张图片

看上去不错,但还有一个问题:如何衡量复数的大小?我们没法单独

计算实部和虚部的大小,因为这样不能从整体上衡量复数。

让我们退一步想想。负数的大小也不是掰着手指头数出来的——它代表了负数和零点间的距离。负数的大小计算如下:

也即计算绝对值,那么对于复数而言,如何计算两个相差90度的部分呢?当然是毕达哥拉斯定理。我们讲实部和虚部构造成一个直角三角形,其斜边就是到原点的距离:

计算复数的大小虽然没有“去掉负号”那样简单,但是复数的大小很有用处。请看一个列子。

一个实例:旋转

不用等到学大学物理时再使用复数运算,今天我们就搞定它。关于复数的乘法可讲的内容很多,但是请记住一点:乘以一个复数就是按照复数的角度进行旋转。

我们来看一个例子:假设我有一艘船,船头朝向偏东3个单位而偏北4个单位的方向。如果我逆时针旋转我的船头45度, 现在我的船头朝向哪里?

虚数的几何意义_第7张图片

某高手也许会用三角函数去解出这道题目,但这里我们会选用一种更简便的方法:我的船正处于3+4i 方向(不必在意角度到底是多少),需要正传45度。好,45度角的复数形式是 1+ i ,用它乘以原来的方向就行啦!

虚数的几何意义_第8张图片

解题思想是这样的:

原方向:向东3个单位,向北4个单位=3 + 4i

逆时针旋转45度= 乘以 1+i

两个复数相乘得到:

所以新的船头方向是向西1个单位(向东-1个单位),向北7个单位。

惊讶吧,我们用了十秒钟就算出来的,甚至不用正弦余弦运算,也不用考虑向量、矩阵、象限等概念。仅仅使用了算数中的交叉相乘。虚数天生适合表达旋转。

计算的结果也十分有用,我们得到一个方向(-1,7),而不是一个角度(atan(7/-1),第二象限)这个角度和难用量角器画出来,却可以用坐标轻松地表示出来。

如果你和我一样,你会觉得这个方法简直太过瘾了。如果不是,额,恐怕数学不适合你,孩子。

三角运算很有用,但是复数运算可以让丑陋的计算过程变得简单(比如计算cos(a+b))这里只做一点简单介绍,在后面的文章中我会讲全部内容奉献给你。

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