新颖,费脑的概念总是不能立即被人理解,即使他是欧拉。但如同负数那样,这些陌生的概念仍然有它的用处。我不喜欢管它叫“虚数”,这简直是种侮辱、讽刺,令人扫兴。数字 i和别的数字一样,但是“虚数”的叫法沿袭下来,所以我们还是如此称呼它。
负数和复数的图形化理解
等式x^2=9意味着:
变换x 为何值时,经过两次变换能将1变成9?
答案是"x=3"和"x=-3"。
现在看看方程x^2=-1,经过什么变换x两次后,1变成了-1?
把一个正数平方显然不对,因为结果是正数。
把一个负数平方也不对,两个负数相乘结果会翻转成正数。
但如果进行的是旋转变换呢!听起来不靠谱,但是想象一下x代表“旋转90度”,经过两次x变换可以得到一个180度的旋转,正好把1翻转成-1!
再想想,我们还可以从其他方向讲1 变成-1 ,“负”旋转或者乘以 -i
如果我们两次 乘以 -i,就会把 1 变成 -i ,把 -i 变成 -1 所以-1 的平方根是 i和 - i。
看上去很酷。我们已经有了方程的解,但是它有什么用呢?
i 是用来衡量数字 的一个“新的虚构维度”
i 或-i 代表了经过旋转后的数字。
乘以 i 代表 旋转逆时针90度
乘以 -i代表旋转顺时针90度
经过同一方向的两次旋转后结果为 -1 ,回到了只有正数和负数的”正常“维度。
数字是二维的。有点伤脑筋,想当年分数和长除法也让古罗马的人伤透了脑筋(1和2 之间才不会还有数字呢!)。
当我们提问”如何用两步把1 变成-1 ?“,我们已经有了答案:经过两次90度旋转。这是一种思考数字的全新视角。但是它很管用(顺便提一下,复数运算的几何意义在复数出现几十年后才被发现)。出于习惯我们规定逆时针旋转90度为正。
找规律
我们再深入一点。当你连乘一个负数(如-1),你会得到形如:
1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1的数列
因为-1 不会改变数字的大小,只会改变符号,运算结果会在正负间不来回变换。对于任意数“x”,你可以得到数列:
x, -x, x, -x, x, -x…
数x 可以代表周期,假设周期在 好坏之间来回变换,如果此时是一个好的周期,那么47个周期之后会是好还是坏呢?
-x代表了坏周期。注意负数是如何保持符号的——我们把 -1^47按进计算器里而不需要掰着手指头算(老外真SB。)
现在如果我们连乘 i会怎么样呢?
对数列求值
表达成图形就是:
四个旋转为一周期。明白了吗?小孩子都知道4个转向与没转时方向一样。在看下面这个数列:
X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
如同负数的翻转模式一样,虚数可以使一个数在两个维度“X”和"Y"之间旋转。
理解复数
一个数有可能即是“实”的,又是“虚”的吗?
当然。谁说我们只能转90度?如果我们有一个数它是实部为1,虚部也为1,看上去是这样:
我们就有了一个45度角,它的实部和虚部大小相等。
事实上我们可以用虚数和实数的结合来代表角度。这个角 的意义是“旋转角”。既有实部又有虚部的数称为复数,写作a+ib 的形式。
a 是实部,b是虚部。
看上去不错,但还有一个问题:如何衡量复数的大小?我们没法单独计算实部和虚部的大小,因为这样不能从整体上衡量复数。
让我们退一步想想。负数的大小也不是掰着手指头数出来的——它代表了负数和零点间的距离。负数的大小计算如下:
也即计算绝对值,那么对于复数而言,如何计算两个相差90度的部分呢?当然是毕达哥拉斯定理。我们讲实部和虚部构造成一个直角三角形,其斜边就是到原点的距离:
计算复数的大小虽然没有“去掉负号”那样简单,但是复数的大小很有用处。请看一个列子。
一个实例:旋转
不用等到学大学物理时再使用复数运算,今天我们就搞定它。关于复数的乘法可讲的内容很多,但是请记住一点:乘以一个复数就是按照复数的角度进行旋转。
我们来看一个例子:假设我有一艘船,船头朝向偏东3个单位而偏北4个单位的方向。如果我逆时针旋转我的船头45度, 现在我的船头朝向哪里?
某高手也许会用三角函数去解出这道题目,但这里我们会选用一种更简便的方法:我的船正处于3+4i 方向(不必在意角度到底是多少),需要正传45度。好,45度角的复数形式是 1+ i ,用它乘以原来的方向就行啦!
解题思想是这样的:
原方向:向东3个单位,向北4个单位=3 + 4i
逆时针旋转45度= 乘以 1+i
两个复数相乘得到:
所以新的船头方向是向西1个单位(向东-1个单位),向北7个单位。
惊讶吧,我们用了十秒钟就算出来的,甚至不用正弦余弦运算,也不用考虑向量、矩阵、象限等概念。仅仅使用了算数中的交叉相乘。虚数天生适合表达旋转。
计算的结果也十分有用,我们得到一个方向(-1,7),而不是一个角度(atan(7/-1),第二象限)这个角度和难用量角器画出来,却可以用坐标轻松地表示出来。
如果你和我一样,你会觉得这个方法简直太过瘾了。如果不是,额,恐怕数学不适合你,孩子。
三角运算很有用,但是复数运算可以让丑陋的计算过程变得简单(比如计算cos(a+b))这里只做一点简单介绍,在后面的文章中我会讲全部内容奉献给你。