数论学习

具体数学

数学归纳法

格式:

1. 证明当\(n\)的值为初值时的式子成立 (基础\((basic)\))
2. 假设当\(n = k\)时原式成立，即有 : ....
3. 则当\(n = k + 1\)时，论证式子恒成立 (归纳\((induction)\))

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e.g. 1

数学归纳法证明等差数列存在\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

当\(n = 2\)时,\(a_2 = a_1 + d\),满足定义式: \(a_n = a_{n - 1} + d\)

假设\(n = k\)时,\(a_k = a_1 + (k - 1)d\)成立，则\(n = k + 1\)时,\(a_{k + 1} = a_k + d = a_1 + (k - 1)d + d = a_1 + kd\)

所以当\(n \geqslant 2\)时,\(a_n = a_1 + (n - 1)d\) \(\qquad \blacksquare\)

e.g. 2

数学归纳法证明平面上的\(n\)条直线最多界定的区域个数\(Ln = \dfrac{n(n + 1)}{2} + 1 , n \geqslant 0\)

存在递推式:

\(L_0 = 1\)

\(L_n = L_{n - 1} + n,n > 0\)

当\(n = 1\)时，\(L_1 = 1 + 1 = L_0 + 1\),满足递推式

假设\(n = k\)时，\(L_k = \dfrac{k(k + 1)}{2} + 1\)成立，则\(n = k + 1\)时，\(L_{k + 1} = \dfrac{k(k + 1)}{2} + 1 + (k + 1)=\dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1\)

所以当\(n \geqslant 1\)时，\(Ln = \dfrac{n(n + 1)}{2} + 1 , n \geqslant 0\) \(\qquad \blacksquare\)