推荐算法基础--相似度计算方法汇总

推荐系统中相似度计算可以说是基础中的基础了，因为基本所有的推荐算法都是在计算相似度，用户相似度或者物品相似度，这里罗列一下各种相似度计算方法和适用点

余弦相似度

similarity=cos(θ)=A⋅B∥A∥∥B∥=∑i=1nAi×Bi∑i=1n(Ai)2−−−−−−−√×∑i=1n(Bi)2−−−−−−−√

这个基本上是最常用的，最初用在计算文本相似度效果很好，一般像tf-idf一下然后计算，推荐中在协同过滤以及很多算法中都比其他相似度效果理想。
由于余弦相似度表示方向上的差异，对距离不敏感，所以有时候也关心距离上的差异会先对每个值都减去一个均值，这样称为调整余弦相似度

欧式距离

d(x,y):=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=∑i=1n(xi−yi)2−−−−−−−−−−√

基本上就是两个点的空间距离，下面这个图就能很明显的说明他和余弦相似度区别，欧式距离更多考虑的是空间中两条直线的距离，而余弦相似度关心的是空间夹角。所以

欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析，如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异。

余弦距离更多的是从方向上区分差异，而对绝对的数值不敏感，更多的用于使用用户对内容评分来区分兴趣的相似度和差异，同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题（因为余弦距离对绝对数值不敏感）。

皮尔逊相关性（PC）

ρX,Y=cov(X,Y)σXσY=E[(X−μX)(Y−μY)]σXσY

上面是总体相关系数，常用希腊小写字母 ρ (rho) 作为代表符号。估算样本的协方差和标准差，可得到样本相关系数(样本皮尔逊系数)，常用英文小写字母 r 代表：

r=∑i=1n(Xi−X¯¯¯)(Yi−Y¯¯¯)∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2−−−−−−−−−−√∑i=1n(Yi−Y¯¯¯)2−−−−−−−−−−√

其实这个就是前面讲的调整的余弦相似度，因为在推荐系统中均值分为用户的均值和物品的均值，这里相当于是物品的均值。这个也是比较常用的。

斯皮尔曼等级相关系数

斯皮尔曼相关系数（Spearman Rank Correlation）被定义成 等级变量之间的皮尔逊相关系数。[1] 对于样本容量为 n的样本， n个 原始数据 Xi,Yi 被转换成等级数据 xi,yi , 相关系数ρ为

ρ=∑i(xi−x¯)(yi−y¯)∑i(xi−x¯)2∑i(yi−y¯)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

实际应用中， 变量间的连结是无关紧要的， 于是可以通过简单的步骤计算 ρ.[1][2] 被观测的两个变量的等级的差值 di=xi−yi ， 则 ρ 为

ρ=1−6∑d2in(n2−1)

看一个维基百科的例子：

智商, Xi	每周花在电视上的小时数, Yi	等级 xi	等级 yi	di	d2i
86	0	1	1	0	0
97	20	2	6	-4	16
99	28	3	8	-5	25
100	27	4	7	-3	9
101	50	5	10	-5	25
103	29	6	9	-3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

根据 d2i 计算 ∑d2i=194 。 样本容量n为 10。 将这些值带入方程

ρ=1−6×19410(102−1)

得 ρ = −0.175757575…

这个值很小表明上述两个变量的关系很小。 原始数据不能用于此方程中，相应的， 应使用皮尔逊相关系数计算等级。

我们发现这个思路是不考虑数据本身，只考虑变量间的排名顺序，理论上SRC可以避免对rating进行标准化的问题

平均平方差异（MSD）

计算两个用户在打分中均方差，表现比PC差，因为它没有考虑到用户偏好或产品的被欣赏程度之间的负相关。

有论文比较过PC的MAE 要优于 MSD 和SRC

Jaccard 距离和Dice系数

J(X,Y)=|X∩Y||X|U|Y|

意思是两个集合的交集除以并集，比如文本相似度可以用出现相同词个数进行计算。