求模的逆元

求模的逆元

• 辗转相处法
  　求a b的最大公约数c,则c是min(a,b)的最大公约数且是|a-b|的最大公约数(都是整倍数嘛)。
  例如:

  252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；
  因为252 − 105 = 21 × (12 − 5) = 147，所以147和105的最大公约数也是21。

  当两个数的最大公约数是1时，这是两个数互为素数。==>以后可用该算法判断两个数是否是素数。

• 扩展欧几里得算法
  ax+by=gcd(a,b)，要求a,b互素即gcd(a,b)=1
  通过辗转相处可求出ax+by=gcd(a,b)方程的解。

• 模的逆元(ab%n=1)
  对ax+by=1求b的模:
  (ax+by)%b=1%b
  ax%b+0=1
  即求出a模b的逆元为x。

• wiki上的例子

  用类似辗转相除法，求二元一次不定方程 47x+30y=1  47x+30y=1的整数解。
  47 = 30 * 1 + 17
  30 = 17 * 1 + 13
  17 = 13 * 1 + 4
  13 = 4 * 3 + 1
  然后把它们改写成“余数等于”的形式
  17 = 47 * 1 + 30 * (-1) //式1
  13 = 30 * 1 + 17 * (-1) //式2
  4 = 17 * 1 + 13 * (-1) //式3
  1 = 13 * 1 + 4 * (-3)
  然后把它们“倒回去”
  1 = 13 * 1 + 4 * (-3)
  1 = 13 * 1 + [17 * 1 + 13 * (-1)] * (-3) //应用式3
  1 = 17 * (-3) + 13 * 4
  1 = 17 * (-3) + [30 * 1 + 17 * (-1)] * 4 //应用式2
  1 = 30 * 4 + 17 * (-7)
  1 = 30 * 4 + [47 * 1 + 30 * (-1)] * (-7) //应用式1
  1 = 47 * (-7) + 30 * 11
  得解x=-7, y=11。
  47的逆元为-7

• 代码(from wiki)

  • python

  def ext_euclid ( a , b ):
   if (b == 0):
       return 1, 0, a
   else:
       x , y , q = ext_euclid( b , a % b )
       x , y = y, ( x - (a // b) * y )
       return x, y, q

  • c
    

    int gcdEx(int a, int b, int *x, int *y) 
    {
     if(b==0)
     {
         *x = 1,*y = 0;
         return a;
     }
     else
     {
         int r = gcdEx(b, a%b, x, y);
         int t = *x;
         *x = *y;
         *y = t - a/b * *y;
         return r;
     }
    }

• 参考
  
  • 辗转相处法(欧几里得算法)
  • 模逆元
  • 扩展欧几里得算法
  • 算法导论第三版31章