扩展欧几里得算法&同余方程&模m乘法逆元详解
欧几里德算法：
复习：求最大公约数算法（欧几里得算法、也叫辗转相除法）。欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
第二种证明：
要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
设 c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质
（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质）
则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得证。
算法的实现：
最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：
扩展欧几里德算法：
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 ：
gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
扩展欧几里德的递归代码：
扩展欧几里德非递归算法思路参见附文：欧几里德算法和扩展欧几里德算法。（非递归算法思路解析）
扩展欧几里德非递归代码：
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，
p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解
p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。
如果 d| b，则方程a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，
得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下：
（3）用欧几里德算法求模的逆元：
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
中国剩余定理
前置技能
扩展欧几里得算法:
求出形似
也即
的一组解 x,y
问题模型
对 x 满足以下模方程
求最小的
解决方案
1> 我们先解决 m=2 的情况
求
我们设两个中间变量 r,s ,并将式子改变为
则
我们再设另外两个中间变量 r′,s′ 满足
则上式变为
此时,我们可以就通过扩展欧几里得求得 r′,s′ 了
回带即可得到一个 xmod(p1⋅p2) 的值了
2> 多个式子的合并
我们注意到两个式子合并为了一个方程
xmod(p1⋅p2)=b
这个方程的形式与其他方程的形式相同,并且模数互质,所以我们可以对这些方程两两合并
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附文：欧几里德算法和扩展欧几里德算法。（非递归算法思路解析）
首先来看欧几里德算法数学原理：
定理1：设a,b,c是任意三个不全为零的整数，且
a=bq+c，
其中q是整数，则(a,b)=(b,c).
证明：因为(a,b)|a，(a,b)|b，所以有(a,b)|c，因而(a,b)≤(b,c)。同理可证(b,c)≤(a,b)，于是有(a,b)=(b,c)。 证毕
任给整数a>0,b>0，由带余数的除法，有下列等式：
a=bq_1+r_1，0
b=r_1 q_2+r_2，0
…… (1)
r_(n-2)=r_(n-1) q_n+r_n，0
r_(n-1)=r_n q_(n+1)+r_(n+1)，r_(n+1)=0，
因为b>r_1>r_2>r_3>⋯，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零，即(1)中r_(n+1)=0
定理2：若任给整数a>0,b>0，则(a,b)就是(1)中最后一个不等于零的余数，即(a,b)= r_n.
证明：由定理1即得：
r_n=(0,r_n )=(r_n,r_(n-1) )=⋯=(r_2,r_1 )=(r_1,b)=(a,b) 证毕
由以上原理可得到求最大公因数的辗转相除法，也即欧几里德算法
算法流程描述
递归算法：
(1) 得到两正整数a,b；
(2) 判断如果b=0，则返回a，否则返回(b,a mod b)。
非递归算法：
(1) 得到两正整数a,b；
(2) 若b=0，返回a；
(3) 否则r<-a mod b，a<-b，b<-r；
(4) 重复(3)直到r=0；
(5) 返回a。
注：算法只考虑正整数情况，故调用时须对参数a,b取绝对值。
C语言代码
递归算法：
#include
#include
int Euclid(int a,int b);
int main()
{
int a,b,gcd;
while(1)
{
printf("请输入两个数，以空白字符分隔：\n");
scanf("%d%d",&a,&b);
if(0==a&&0==b)
{
printf("输入数据错误！请重新输入！\n\n");
continue;
}
gcd=Euclid(abs(a),abs(b));
printf("两数的最大公约数为%d。\n\n",gcd);
}
return 0;
}
int Euclid(int a,int b)
{
if(0==b)
return a;
return Euclid (b,a%b);
} 非递归算法：
#include
#include
int Euclid(int a,int b);
int main()
{
int a,b,gcd;
while(1)
{
printf("请输入两个数，以空白字符分隔：\n");
scanf("%d%d",&a,&b);
if(0==a&&0==b)
{
printf("输入数据错误！请重新输入！\n\n");
continue;
}
gcd=Euclid(abs(a),abs(b));
printf("两数的最大公约数为%d。\n\n",gcd);
}
return 0;
}
int Euclid(int a,int b)
{
int r;
if(0==b)
return a;
do
{
r=a%b;
a=b;
b=r;
}while(r!=0);
return a;
} 欧几里德算法在求两数最大公因数问题上可以算是一个高效算法，并且实现起来很容易，如果写递归程序只需要两行，但是出于效率考虑，在能使用非递归时尽量不要使用递归。递归的思想很重要，需要深入理解，而在实际应用中要尽量避免深度递归。将递归算法转化为非递归算法也是一个有趣的问题。在欧几里德算法的实现中，递归转化成非递归很好实现，用到了循环，还有一些递归转成非递归需要用到栈，也就是自己模仿系统为中间变量设置栈。
在欧几里德算法的基础上，又派生了扩展的欧几里德算法，所依赖的定理是：
对任给整数a>0,b>0，存在整数x,y，使得(a,b)= ax+by;
扩展的欧几里德算法就是要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y，这在求乘法逆元上有所应用。
首先考虑 递归求解 ：
当b=0时，我们取x=1,y=0。
当b≠0时
假设gcd(a,b)=d，则gcd(b,a mod b)=d。若我们已经求出了gcd(b,a mod b)的线性组合表示bx’+(a mod b)y’，则
d=gcd(a,b)
=bx'+(a mod b)y'
=bx'+(a-[a/b]b)y'
=ay'+b(x'-[a/b]y')
那么，x=y'，y=x’-[a/b]y’。这样就可以在Euclid的递归过程中求出x和y。
代码如下：
#include
#include
int x,y;
int Euclid_Extend(int a,int b);
int main()
{
int a,b,gcd;
while(1)
{
printf("请输入两个整数，以空白字符分隔：\n");
scanf("%d%d",&a,&b);
if(0==a&&0==b)
{
printf(“输入的数据有误，请重新输入！\n\n”);
continue;
}
gcd=Euclid_Extend(abs(a),abs(b));
printf("%d和%d的最大公约数是%d\n",a,b,gcd);
printf("%d=(%d)*(%d)+(%d)*(%d)\n\n",gcd,x*(a<0?-1:1),a,y*(b<0?-1:1),b);
}
return 0;
}
int Euclid_Extend(int a,int b)
{
int m,n;
if(0==b)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
else
{
n=Euclid_Extend(b,a%b);
m=x;
x=y;
y=m-a/b*y;
return n;
}
} 程序中使用了递归，如果要将其改造成非递归，需要设置一个栈来保存辗转相除过程中的a/b。代码如下：
#include
#include
#include
typedef struct node
{
int num;
node *next;
}*Link,Node;
Link top=NULL; //栈顶
int Extend_Euclid(int a,int b);
int main()
{
int a,b,gcd,temp;
int x,y;
Link p;
while(1)
{
printf("请输入两个整数，以空白字符分隔：\n");
scanf("%d%d",&a,&b);
if(0==a&&0==b)
{
printf("输入的数据有误，请重新输入！\n\n");
continue;
}
gcd=Extend_Euclid(abs(a),abs(b));
printf("%d和%d的最大公约数是%d\n",a,b,gcd);
x=1;
y=0;
while(top!=NULL)
{
temp=x;
x=y;
y=temp-top->num*y;
p=top;
top=top->next; //a/b退栈
free(p);
}
printf("%d=(%d)*(%d)+(%d)*(%d)\n\n",gcd,x*(a<0?-1:1),a,y*(b<0?-1:1),b);
}
return 0;
}
int Extend_Euclid(int a,int b)
{
int r;
Link p;
If(0==b)
return a;
do
{
p=(Link)malloc(sizeof(Node));
p->num=a/b;
p->next=top;
top=p; //a/b进栈
r=a%b;
a=b;
b=r;
}while(r!=0);
return a;
} 虽然改造成了非递归，仍然需要较大空间来保存中间值，在辗转相除次数较大时空间复杂度较高。要想提高效率，就要从改造算法出发考虑。寻求一种不使用倒推的算法。
沿着式(1)所示的除法顺序进行，并假设在每一步i都可以找到x_i,y_i满足r_i=ax_i+by_i，于是可以得到如下式子：
a=bq_1+r_1 r_1=ax_1+by_1
b=r_1 q_2+r_2 r_2=ax_2+by_2
r_1=r_2 q_3+r_3 r_3=ax_3+by_3
……
r_(n-2)=r_(n-1) q_n+r_n r_n=ax_n+by_n，
r_(n-1)=r_n q_(n+1)+0
可以通过移项得到：r_i=r_(i-2) - r_(i-1) q_i (2)
同样从i-1行和i-2行可以得到
r_(i-1)=ax_(i-1)+by_(i-1) r_(i-2)=ax_(i-2)+by_(i-2)
带入式(2)有
r_i=ax_(i-2)+by_(i-2) - [ax_(i-1)+by_(i-1)]q_i
=a[x_(i-2) - x_(i-1) q_i]+b[y_(i-2) - y_(i-1) q_i]
又由假设r_i=ax_i+by_i，可知x_i=x_(i-2) - x_(i-1) q_i，y_i=y_(i-2) - y_(i-1) q_i。
辗转相除的最后得到 r_n=ax_n+by_n，r_n即为a、b的最大公因子，所以x_n，y_n就是所求的x、y。我们可以在辗转相除的同时根据递推式求解出x_n、y_n。
计算 满足
x_-1=1,y_-1=0 a=a*x_-1+b*y_-1
x_0=0,y_0=1 b=a*x_0+b*y_0
x_1=x_-1 - x_0*q_1=1 r_1=a*x_1+b*y_1
y_1=y_-1 - y_0*q_1= - q_1
x_2=x_0 - x_1*q_2= - q_2 r_2=a*x_2+b*y_2
y_2=y_0 - y_1*q_2=1 + q_q*q_2
……
x_n=x_(n-2) - x_(n-1)*q_n r_n=a*x_n+b*y_n
y_n=y_(n-2) - y_(n-1)*q_n
gcd(a,b)=r_n
x=x_n,y=y_n
代码如下：
#include
int Extend_Euclid(int a,int b,int* x,int* y);//扩展欧几里德算法
int main()
{
int a,b,x,y,GCD;
while (1)
{
printf("请输入a、b,以空白字符分隔：\n");
scanf("%d%d",&a,&b);
GCD=Extend_Euclid(a,b,&x,&y);
printf("两数最大公约数是%d,x=%d y=%d\n\n",GCD,x,y);
}
return 0;
}
int Extend_Euclid(int a,int b,int* x,int* y)//扩展欧几里德算法
{
if(0==b)
{
*x=1;
*y=0;
return a;
}
int r;
int x_i_2=1,y_i_2=0,x_i_1=0,y_i_1=1,x_i,y_i;
while(r=a%b)
{
x_i=x_i_2-a/b*x_i_1;
y_i=y_i_2-a/b*y_i_1;
x_i_2=x_i_1;
y_i_2=y_i_1;
x_i_1=x_i;
y_i_1=y_i;
a=b;
b=r;
}
*x=x_i;
*y=y_i;
return b;
} 与使用栈相比，只增加了x_i_2,y_i_2,x_i_1,y_i_1,x_i,y_i这六个中间变量，节省了空间。可见算法的选择对于程序的效率是至关重要的。计算机性能的提高对于运算速度的影响只有很少一部分，设计高效的算法才是提高程序运行效率的关键一步。
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C实现源码：https://github.com/yangxt225/GCD
【参考】http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/9901195
【参考】https://www.douban.com/note/270780572/
【参考】http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html