大胆地玩弄语言，就像我们玩弄数字一样

我们由自然数出发：1，2，3，...

1是1，2是2，3是3，...

记为：1=1，2=2，3=3，...

现在引入一种运算：加法，

使：1+1=2，2+1=3，...

现在引入一种逆运算：减法，

使：...，3-1=2，2-1=1，...

这里出现一个问题：1-1=？

记：1-1=0，将自然数域扩展为整数域，...

我们发现，如果不定义运算符，+，我们无法获得无限大的自然数概念，如果不定义运算符，-，我们无法获得零和负数的概念。

1，2，3，...可看作是有确定所指的名词，好像“苏格拉底”，“白马”，...

单纯考虑名词的集合，如："1,2,3"，我们无法达到超出1，2，3，...的知识，只能是：1是1，2是2，3是3，...式的同义反复。

运算：+，-是施加于名词（指称事物）的操作，动作。这种操作可以是人的主观规定，也可以是人对事物关系（事物因运动变化而具有关系）的表示。

数与数因运算联系起来，构成算数系统而具有某种结构。我们由+，-两种最简单的运算开始讨论。

+把所有自然数都联系起来，任何两个自然数做加法都是合法的，仍然是自然数（封闭性）。但任何两个自然数做减法则不一定合法，1-1=？

在对数字玩弄减法之前，我们很难想像零和负整数。但当面对1-1=？这样的问题时，我们就发现了“新”对象“零”，继续玩弄数字0-1=？于是我们就发现了负整数。...于是我们把自然数扩展为整数。这样就保证了减法运算的封闭性，我们说我们的知识因此而获得增长。

现在的问题是：关于整数的知识是否本质地蕴含于关于自然数的知识内？

如果不定义+，我们是无法由有限的自然数1，2，3认识到任意大自然数的。如果不定义-，我们是无法认识到0和负整数的。我们的认识超越自然数的能力并非来自其自身，而在于我们能够玩弄数字。

类似地，我们可以继续定义乘法：2x3=2+2+2=6，...，乘法在整数域上满足封闭性。我们可定义乘法的逆运算除法，任意两个整数相除可以不是整数，除法在整数域上是不封闭的。我们将整数域扩展为有理数域，除法在有理数域上满足封闭性。

我们可继续定义乘方：2^2=2x2，3^2=3x3....，乘方在有理数域上是封闭的。但乘方的逆运算开方在有理数域上则是不封闭的，如sqrt(2)无法表示为两整数之比，我们需进一步将有理数域扩展为实数域，才可使得对任意正有理数的开方有所指。

需要指出的是由"1,2,3"扩展到自然数是本质的飞跃，而由有理数扩展到实数是另一个本质的飞跃。由"1,2,3"到自然数是由有限到无限的飞跃，而由有理数到实数则是可数的无限到不可数的无限的飞跃。

总之我们通过对有限对象进行有限步骤的推理就获得了关于实数（不可数的无限）的知识。

因 此关于操作或运算的研究就是非常重要的，玩弄数字使我们获得关于数学的新知识。用语言来类比数学，语言活动正是对名词和概念的玩弄。虽然话总是一句一句说 的，但因谓词的存在，语言就有了玩弄名词和概念的能力，有限句话就能有表达属于无限对象的能力。表达能力意味着把握知识的能力，这意味着当我们陷入某种语 言困境时，正是我们获得新知识的好机会。

大胆地玩弄语言，就像我们玩弄数字一样。