01背包、完全背包、多重背包、分组背包

参考链接：

01背包、完全背包、多重背包问题的C++实现 

史上最易懂的01背包，完全背包，多重背包讲解

浅谈分组背包

 

各种背包的描述：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分组背包有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

 

01背包问题

容量为10的背包，有5种物品，每种物品只有一个，其重量分别为5，4，3，2，1，其价值分别为1，2，3，4，5。 
设计算法，实现背包内物品价值最大。 
代码如下（输出14）

#include 
#include

using namespace std;

int main() 
{
    int total_weight = 10;
    int w[6] = { 0,5,4,3,2,1};
    int v[6] = { 0,1,2,3,4,5};
    int dp[11] = { 0 };

    for (int i = 1; i <= 5; i++)
        for (int j = 10; j >= w[i]; j--)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

    cout << "总的价值为: " << dp[10] << endl;
    return 0;
}

 

完全背包问题

容量为10的背包，有5种物品，每种物品数量无限，其重量分别为5，4，3，2，1，其价值分别为1，2，3，4，5。 
设计算法，实现背包内物品价值最大。 
代码如下（输出50）

#include 
#include

using namespace std;

int main() 
{
    int total_weight = 10;
    int w[6] = { 0,5,4,3,2,1};
    int v[6] = { 0,1,2,3,4,5};
    int dp[11] = { 0 };

    for (int i = 1; i <= 5; i++)
        for (int j = w[i]; j <= 10;j++)
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i]);

    cout << "总的价值为: " << dp[10] << endl;
    return 0;
}

 

多重背包问题

容量为10的背包，有5种物品，每种物品数量分别为1，2，1，2，1，其重量分别为5，4，3，2，1，其价值分别为1，2，3，4，5。 
设计算法，实现背包内物品价值最大。 
代码如下（输出16）

#include 
#include

using namespace std;

int main()
{
    int total_weight = 10;
    int w[6] = { 0,5,4,3,2,1 };
    int v[6] = { 0,1,2,3,4,5 };
    int cot[6] = { 0,1,2,1,2,1 };
    int dp[11] = { 0 };

    for (int i = 1; i <= 5; i++)
        for (int k = 1; k <= cot[i];k++)
            for (int j = 10; j >= w[i]; j--)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

    cout << "总的价值为: " << dp[10] << endl;
    return 0;
}

 

分组背包问题

 

乍一看好像很难的样子，其实仔细想想很简单，这种问题完全可以用01背包解决。 对于分组背包，可以这样想：虽然分成很多组，但只能选一个，或者不选，这和01背包是一样的，也就是说，对于01背包里每一个独一无二的物品，对应的分组背包就是每一组中选择一个物品，这样来看，完全就是01背包问题。

下面是状态方程：

for(int i = 1; i <= z; i++)
for(int j = V; j >= 1; j--)
for(int k = 1; k <= n; k++)
dp[j] = max(dp[j - w[i][k]] + p[i][k], dp[j]);

其中，z是分组数，V是背包体积，n是每组物品数量,w和p分别是第i组第k个物品的体积和价值。

为什么要这样写呢？可以想一下01背包的状态方程，和这个外两层的循环是一样的，不一样的是里面又加了一层，这层循环是遍历每一组的物品用的，对于dp[]中每一个状态都是循环了一遍每一组的物品才换到下一个的，所以对后面的没有影响，也就保证了每组物品最多只有一件。