线性代数学习笔记（八）——矩阵概念

本笔记通过航班信息和人际关系的图表引入矩阵的定义，探讨了矩阵和行列式的关系，并给出了矩阵相关概念的说明，例如实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、零矩阵、负矩阵、方阵、单位阵和同型矩阵等。

1 举例

航班信息：
假设有以下三个城市的航班信息：

北京

济南

威海

上述图形相对简单，实际的情况非常复杂。如果用$1$表示城市之间有航班，$0$表示没有航班，上述航班信息可以使用如下表格清晰地表示：

	北京	济南	威海
北京	0	1	1
济南	1	0	1
威海	0	0	0

人际关系：

关系：
1：表示不认识；
2：表示认识；
3：表示恋人。

1

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

1

2

2

2

3

3

3

2

小红

小英

小明

小刚

小浩浩

可以看出，使用图形表示非常复杂，很难看清之间的关系。同理，使用表格表示方式如下：

$\begin{array}{ccccc}小红& 小英& 小明& 小刚& 小浩浩\end{array}$
$\begin{array}{c}小红\\ 小英\\ 小明\\ 小刚\\ 小浩浩\end{array}$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 2& 2& 2\\ 2& 2& 2& 1& 3\\ 3& 1& 2& 2& 2\\ 2& 2& 2& 2& 3\\ 2& 2& 2& 2& 3\end{array}\right]$

自己与自己的关系为2表示认识，为3表示自恋，很复杂的关系可以通过数表的形式清晰的表示出来。

2 矩阵的定义（Matrix）

由$m$行$n$列元素组成的数表称为$m\times n$的矩阵。

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

$m$表示行数，$n$表示列数，$a_{ij}$表示元素。

例如：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

表示：$2\times 3$的矩阵，记作：$A_{23}$。
一般使用大写字母$A$、$B$、$C$表示矩阵（$D$留给行列式），$A_{mn}$表示$m\times n$的矩阵。

3 矩阵和行列式

	行列式	矩阵
本质	一个数	数表
符号	||	()或[]
形状	行数=列数	行数可以不等于列数

行列式是方阵的一个属性。

4 一些概念

实矩阵：所有的元素都是实数的矩阵。
复矩阵：所有的元素都是复数的矩阵。
行矩阵：只有一行元素的矩阵。如：$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]$，记作：$A_{13}$。
列矩阵：只有一列元素的矩阵。如：$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$，记作：$A_{31}$。
零矩阵：元素都是0的矩阵。如：$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$或$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$，记作：$O$。
负矩阵：将矩阵$A$所有元素都取相反数得到的矩阵。如原来矩阵为$A$，那么负矩阵为$-A$。
方阵：行数和列数相等的矩阵。记作：$A_n$，表示$n$阶方阵。
单位阵：主对角线全为1，其余元素全为0的矩阵。记作：$E$或$I$。
如$E_3$表示3阶单位阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，注意不是：$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$。

只有一个元素的矩阵和这个数本身不加以区别。如$[5]=5$。

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数对应相等。如：$A_{3\times 5}$和$B_{3\times 5}$。矩阵相等表示同型矩阵对应元素相等，即矩阵相等的前提是同型矩阵。记作：$A=B$。

两个$O$矩阵不一定相等，因为形状不一定相等。

方阵的主对角线和次对角线与行列式定义相同，不是方阵没有主对角线和次对角线。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.1 矩阵概念