图像处理 Random Walks分割——基于随机游走的图像分割算法

基于随机游走的图像分割算法是属于图论分割方法中的一种，这个算法比较偏，网上的paper比较少，刚开始学习找个资料都不容易，其实这个算法的原理就是通过求解一个邻接矩阵方程组，跟三维空间三角网格曲面的调和场求解有点类似。

1、算法开始前，先简单描述一下随机游走模型

一维随机游走问题：设一个质点（随机游走者）沿着一条直线运动，单位时间内只能运动一个单位长度，且只能停留在该直线上的整数点，假设在时刻t，该质点位于直线上的点i，那么在时刻t +1，该质点的位置有三种可能：①以p 的概率跳到整数点i-1，②或以q的概率跳到点i+1，③或以r=1-p-q的概率继续停留在点i ，由于每一步的结果都是独立的，且每种情况发生的概率之和都为1，则该过程服从伯努利分布，称为贝努利随机游走过程。当 p=q=0.5时，即质点在下一时刻到达其相邻点的概率是相等的，称为简单的随机游走。

例子1：如下图所示，假设某一时刻一质点位于刻度2的位置，质点左右游走的概率各为0.5，那么下一时刻该质点既有可能往左走，也有可能往右走，当质点运动到位置0、5位置时，质点停止运动，求质点到最后运动到位置5的概率？该问题便是随机游走问题。

                                                   

对于一维的简单随机游走问题，满足：

                                                                           

,    

其中，x为当前的位置点，x-1、x+1为位置x的左右邻接顶点。根据该公式，我们可以列出由n个未知数组成的n个方程组，可以发现该方程组的系数矩阵即为拉普拉斯邻接矩阵。拉普拉斯矩阵是非满秩矩阵，需要添加边界约束条件，方程组才有唯一解。

如例子1的问题，设添加边界约束条件：

                                                                                                  

 

则最后可以列出如下方程组，求出各点到位置5的概率。

                                                                           

 

2、基于随机游走的图像分割算法

①参考文献：《Random Walks for Image Segmentation》

②文献概述：随机游走算法是一种基于图论的分割算法，属于一种交互式的图像分割。它的分割思想是，以图像的像素为图的顶点，相邻像素之间的四邻域或八邻域关系为图的边，并根据像素属性及相邻像素之间特征的相似性定义图中各边的权值，以此构建网络图，然后由通过用户手工指定前景和背景标记，即前景物体和背景物体的种子像素，以边上的权重为转移概率，未标记像素节点为初始点，计算每个未标记节点首次到达各种子像素的概率，根据概率大小，划分未标记节点，得到最终分割结果。

例子2：如图下所示，图中的小圆圈代表图像上的每个像素点。L1，L2，L3三个种子点分别由用户交互输入，作为标记的种子点。现要把图像分割成对应的三部分。

                                    

③算法流程：

A.计算图中任意一点vi与其各个邻接顶点连接边的权重:

                                                                         

 

其中，表示个像素点的灰度值、或纹理信息等参数；

B.对于图中任意一点vi的概率，其满足随机游走概率公式：

                                                                            

 

其中，Ni为vi点的邻接顶点（可为四邻接顶点或八邻接顶点），根据上式，可构建图的拉普拉斯矩阵，然而拉普拉斯是非满秩矩阵，需要添加边界约束条件，才可根据方程组解出个各未知点的概率。也就是将图像分割问题转换为Dirichlet问题进行求解。

C.添加边界约束条件：以已标记的K类顶点作为边界约束条件，求解未知点到各个类的概率。如下图所示：求解各未知点游走到L1的概率，则以，作为约束条件，可求得个未知点的概率，如下图所示:

                                                     

到达L1的概率

                                                    

到达L2的概率

                                                     

到达L3的概率

(5) 每一个未标记点，根据获得的对 K 类标记的隶属度值进行判断，若未标记点到达第k类的概率最大，则将未标记节点vi判别为属于类别k，完成分割。

最后贴一下自己写的部分重要函数代码：

//根据邻接关系，构造拉普拉斯矩阵
void CRandomWalk::ComputeCoff()
{
	int height=m_image->Height;
	int width=m_image->Width;
	m_A.resize(height*width,width*height);
	int vn=height*width;
	typedef Eigen::Triplet Tri;
	std::vector tripletList;
	for (int i=0;i=0&&nei[k][0]=0&&nei[k][1]Width*m_front[i].y+m_front[i].x;
		float a=m_A.coeff(indexf,indexf) +1;
		m_A.coeffRef(indexf,indexf)=a;
	}
 
	for (int j=0;jWidth*m_back[j].y+m_back[j].x;
		float b=m_A.coeff(indexb,indexb) +1;
		m_A.coeffRef(indexb,indexb)=b;
	}
 
	m_MatricesCholesky=new Eigen::SparseLU>(m_A);
 
}
void CRandomWalk::Solver()
{
	ComputeCoff();
	AddConstrain();
 
 
    Eigen::VectorXd b=m_B;
	for (int i=0;iWidth*m_front[i].y+m_front[i].x;
		b(indexf)+=1;
	}
	Eigen::VectorXd x=m_MatricesCholesky->solve(b);
 
 
	Eigen::VectorXd bb=m_B;
	for (int j=0;jWidth*m_back[j].y+m_back[j].x;
		bb(indexfb)+=1;
	}
	Eigen::VectorXd y=m_MatricesCholesky->solve(bb);
 
	//比较概率大小
	for (int i=0;iHeight*m_image->Width;i++)
	{
		if (x(i)>y(i))
		{
			BYTE *data=(BYTE*)m_image->Scan0+i*4;
			for (int k=0;k<3;k++)
			{
				data[k]=255;
			}
		}
	}
	//int indexb=m_image->Width*m_front.y+m_front.x;
 
}
BYTE* CRandomWalk::GetpData(Eigen::Vector2i pt,BitmapData*image)
{
	return (BYTE*)image->Scan0+image->Width*4*pt[0]+4*pt[1];
 
}
float CRandomWalk::GetGrad(BYTE*data1,BYTE*data2)
{
	float sum0=0;
	for (int i=0;i<3;i++)
	{
		sum0+=(data1[i]-data2[i])*(data1[i]-data2[i]);
 
	}
	return sum0;
 
}

参考文献：

1、Random Walks for Image Segmentation

2、《随机游走图像分割算法的研究》

 

原文作者：hjimce

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