【ICPC模板】取模逆元（模反元素）

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取模逆元（模反元素）

互素情形

非互素情形

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取模逆元（模反元素）

互素情形

抽象代数中的逆元指的是，对于现有的一个集合S以及定义在其上的二元运算R，任意元素与其逆元进行这个运算后可以得到单位元。

取模逆元的条件定义在同余式的乘法下，即对于两个整数a和b，如果有：

则将b称作a的逆元，同时a也是b的逆元。

取模逆元常常用在计算取模表达式时有除法的情况，因为取模运算对除法不具有分配律，对于形如(u / v) % n的情形，考虑到u / v等价于u * (1 / v)，即u * v^-1【备注：此处的^表示幂次】，显然有v * v^-1 = 1，且在同余式的情况下仍然成立，那么可以预先计算v模除n的逆元，在需要除以v时乘上v的模n逆元。

计算一个数的取模逆元需要用到费马小定理（当模除的数为素数时）或欧拉定理（题目中通常模除的数会是1e9 + 7这个素数，因此可以使用费马小定理来计算取模逆元）。

计算方法：

其中p是素数。

原理是：

第二个同余号部分使用了费马小定理。

如果p不是素数，则需要使用欧拉定理，将p – 1替换成φ(p)。

 

非互素情形

对于将逆元用在代替除法的情景下， 可以对模数p进行质因数分解，之后将需要取逆元的数的所有与p相同的因子分离出来，并且记录个数，剩下的与p互质的部分求取逆元，使用时分两步，逆元部分直接乘，分离出的公因子部分做减法（分子上这个公因子的个数减去分母上的个数），之后用快速模幂法，将结果乘回去。