RMQ算法讲解

现在给你一个问题：给你一个数组 ，其中有N个数字，现在给你一次询问，给你区间[l ，r]，问你在这个区间内的最大值为多少?

哇！这题简单啊，一个for循环，遍历数组记录最大值输出即可啊。

 

那好，现在我告诉你假设N为50000，给你Q次询问（(1 ≤ Q ≤ 200,000)）,如果这种情况，我们还每次都进行暴力遍历求解的话，这时算法耗时就会很长。

 

是的，这种暴力遍历求解虽然思维简单，代码简短，但是很慢啊。

 

那该怎么做呢？这时候就需要RMQ算法来解决这个问题

 

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询。RMQ算法一般用较长时间做预处理，时间复杂度为O(nlogn)，然后可以在O（1）的时间内处理每次查询。

 

下面我们从一个实际问题来解释RMQ

我们假设数组arr为：1，2，6，8，4，3，7

我们设二维数组dp[i][j]表示从第i位开始连续 个数中的最小值。例如dp[2][1]就表示从第二位数开始连续两个数的最小值（也就是从第二位数到第三位数的最小值），即2，6中的最小值，所以dp[2][1] = 2;

 

其实我们求 dp[i][j] 的时候可以把它分成两部分，第一部分是从 到 ，第二部分从到 ，为什么可以这么分呢？其实我们都知道二进制数前一个数是后一个的两倍，那么可以把 到 这个区间通过分成相等的两部分， 那么转移方程很容易就写出来了。（dp[i][0]就表示第i个数字本身）

 

dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])

由此给出下列代码：

void rmq_init()
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
        dp[i][0]=arr[i];//初始化
    for(int j=1;(1<

这里需要注意一个循环变量的顺序，我们看到外层循环变量为j，内层循环变量为i，这是为什么呢？可以互换一下位置吗？

 

答案当然是不可以，我们要理解这个状态转移方程的意义，这个状态方程的含义是：先更新每两个元素中的最小值，然后通过每两个元素的最小值获得每4个元素中的最小值，依次类推更新所有长度的最小值。

 

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就变成了从1开始的前1个元素，前2个元素，前4个元素，前8个元素。。。

当j等于3的时候dp[1][3] = min(min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3]),min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7])))的值，

但是我们根本没有计算min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3])和min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

 

接下来我们来讲解RMQ的查询部分，假设我们需要查询区间[l ，r]中的最小值，令k = ， 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);

 

但是为什么这样就可以保证是区间最小值了呢？

 

dp[l][k]维护的是区间 [l, l + 2^k - 1] , dp[r - (1 << k) + 1][k]维护的是区间 [r - 2^k + 1, r] 。

那么只要我们保证  ≤ 就能保证RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k])；

 

接下来我们用分析法来证明这个不等式：

我们假设   ≤ 这个等式成立

即有 r - l + 2 ≤ 也就是 r - l + 2 ≤

又因为 k = ;

那么 r - l + 2 ≤ 2 * (r - l +1)

则 r - l + 2 ≤ 2*(r - l) + 2

即 r - l ≤ 2*(r-l)

所以 r - l ≥ 0，即假设成立

我们举个例子， l = 4，r = 6;

假设数组arr为：1，2，6，8，4，3，7

此时 k = = = 1

则区间[4,6]的最小值 = min（dp[4][1],dp[5][1]）

dp[4][1] = 4，dp[5][1] = 3，所以区间[4,6]的最小值 = min(dp[4][1],dp[5][1]) = 3

我们很容易看出来答案是正确的。

由此给出查询部分代码：

int rmq(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1);
    return min(dp[l][k],dp[r-(1<

好了，至此RMQ全部介绍完毕。