数据结构以及应用算法教程参考答案（9）6章 树和二叉树
6章 树和二叉树
6.1 已知一棵树边的集合为{
(1) 哪个是根结点？
(2) 哪些是叶子结点？
(3) 哪个是结点G的双亲？
(4) 哪些是结点G的祖先？
(5) 哪些是结点G的孩子？
(6) 哪些是结点E的子孙？
(7) 那些是结点E的子孙？
(8) 结点B和N的层次号分别是什么？
(9) 树的深度是多少？
(10) 以结点C为根的子树的深度是多少？
6.2 一棵度为2的树与一棵二叉树有何区别？
解：二叉树是颗有序树，但度为2的树则未必有序。
6.3 试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。
6.4 一棵深度为H的满k叉树有如下性质：第H层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有k棵非空子树。如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，问：
(1) 各层的结点数目是多少？
(2) 编号为p的结点的父结点（若存在）的编号是多少？
(3) 编号为p的结点的第i个儿子结点（若存在）的编号是多少？
(4) 编号为p的结点有右兄弟的条件是什么？其右兄弟的编号是多少？
解：(1)
(2)如果p是其双亲的最小的孩子（右孩子），则p减去根结点的一个结点，应是k的整数倍，该整数即为所在的组数，每一组为一棵满k叉树，正好应为双亲结点的编号。如果p是其双亲的最大的孩子（左孩子），则p+k-1为其最小的弟弟，再减去一个根结点，除以k，即为其双亲结点的编号。
综合来说，对于p是左孩子的情况，i=(p+k-2)/k；对于p是右孩子的情况，i=(p-1)/k
如果左孩子的编号为p，则其右孩子编号必为p+k-1，所以，其双亲结点的编号为
向下取整，如1.5向下取整为1
(3)结点p的右孩子的编号为kp+1，左孩子的编号为kp+1-k+1=k(p-1)+2，第i个孩子的编号为k(p-1)+2+i-1=kp-k+i+1。
(4)当(p-1)%k != 0时，结点p有右兄弟，其右兄弟的编号为p+1。
6.5 已知一棵度为k的树中有个度为1的结点，个度为2的结点，…，个度为k的结点，问该树中有多少个叶子结点？
解：根据树的定义，在一颗树中，除树根结点外，每个结点有且仅有一个前驱结点，也就是说，每个结点与指向它的一个分支一一对应，所以除树根结点之外的结点树等于所有结点的分支数，即度数，从而可得树中的结点数等于所有结点的度数加1。总结点数为
而度为0的结点数就应为总结点数减去度不为0的结点数的总和，即
6.6 已知在一棵含有n个结点的树中，只有度为k的分支结点和度为0的叶子结点。试求该树含有的叶子节点数目。
解：利用上题结论易得结果。设度为k的结点个数为，则总结点数为。叶子结点的数目应等于总结点数减去度不为0的结点的数目，即
6.7 一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度和最小深度各为多少？
解：能达到最大深度的树是单支树，其深度为n。满k叉树的深度最小，其深度为
(证明见徐孝凯著数据结构实用教程P166)
6.8 证明：一棵满k叉树上的叶子结点数和非叶子结点数之间满足以下关系：
解：一棵满k叉树的最后一层(深度为h)的结点数(叶子结点数)为，其总结点数为，则非叶子结点数，从而得
6.9 试分别推导含有n个结点和含个叶子结点的完全三叉树的深度H。
解：(1) 根据完全三叉树的定义
(2) 设总的结点数为n，非叶子结点数为注意到每个非叶子结点的度均为3，则
由
6.10 对于那些所有非叶子结点均含有左右子数的二叉树：
(1) 试问：有n个叶子结点的树中共有多少个结点？
(2) 试证明：，其中n为叶子结点的个数，表示第i个叶子结点所在的层次（设根节点所在层次为1）。
解：（1）总结点数为，其中为非叶子结点数，则叶子结点数为，所以总结点数为 。
（2）用归纳法证明。
i=1，说明二叉树只有一个叶子结点，则整棵树只有一个根结点，,
，结论成立。
设有n个叶子结点时也成立，即，现假设增加一个叶子结点，这意味着在某叶子结点p上新生两个叶子结点，而结点p则成为非叶子结点，可见，总结点数增2，叶子结点数增1。此时，所有叶子结点是原结点除去p，然后加上两个深度为的新叶子结点，由此，
则当i=n+1时，也成立，由此即得到证明。
6.11 在二叉树的顺序存储结构中，实际上隐含着双亲的信息，因此可和三叉链表对应。假设每个指针域占4个字节，每个信息域占k个字节。试问：对于一棵有n个结点的二叉树，且在顺序存储结构中最后一个节点的下标为m，在什么条件下顺序存储结构比三叉链表更节省空间？
解：采用三叉链表结构，需要n(k+12)个字节的存储空间。采用顺序存储结构，需要mk个字节的存储空间，则当mk
6.13 假设n和m为二叉树中两结点，用1、0或#（分别表示肯定、恰恰相反或不一定）填写下表：
问
已知
前序遍历时
n在m前？
中序遍历时
n在m前？
后序遍历时
n在m前？
n在m左方
n在m右左方
n是m祖先
n是m子孙
注：如果(1)离a和b最近的共同祖先p存在，且(2)a在p的左子树中，b在p的右子树中，则称a在b的左方（即b在a的右方）。
6.14 找出所有满足下列条件的二叉树：
(a) 它们在先序遍历和中序遍历时，得到的节点访问序列相同；
(b) 它们在后序遍历和中序遍历时，得到的结点访问序列相同；
© 它们在先序遍历和后序遍历时，得到的节点访问序列相同。
解：(a) 不含左子树的二叉树。
(b) 不含右子树的二叉树。
© 即不含左子树，也不含右子树的二叉树。
6.15 解：
6.16 解：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Info
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ltag
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
Lchild
2
4
6
2
7
3
10
14
12
13
13
9
10
11
Rtag
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
Rchild
3
5
6
5
8
9
11
3
12
13
14
0
11
8
6.17 解：其错误在于中序遍历应先访问其左子树，可做如下修改：
BiTree InSucc(BiTree q){
// 一直q是指向中序线索二叉树上某个结点的指针，
// 本函数返回指向*q的后继的指针。
r=q->rchild;
if(!r->ltag)
while(!r->ltag) r=r->lchild;
return r;
} // InSucc
6.18 解：如果p是根结点，则其后继为空。否则需查找p的双亲结点。从p结点开始中序线索遍历，如果某结点的左指针域等于p，说明该结点是p的双亲结点，且p是它的左孩子；如果某结点的右指针域等于p，说明该结点是p的双亲结点，且p是它的右孩子；如此即可确定访问次序。若是右孩子，其后继是双亲结点；若是左孩子，其后继是其兄弟最左下的子孙，如果兄弟不存在，其后继是其双亲结点。
6.19 分别画出和下列树对应的各个二叉树：
解：
6.20 解：
(1) 先序：1 2 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 15 14
(2) 中序：3 4 8 6 7 5 2 1 10 9 11 15 14 13 12
(3) 后序：8 7 6 5 4 3 2 10 15 14 13 12 11 9 1
6.23 解：树的先根序列为GFKDAIEBCHJ，后根序列为DIAEKFCJHBG，可以先转化成二叉树，再通过二叉树转换成树。注意二叉树的先根序列与等价树的先根序列相同，二叉树的中序序列对应着树的后根序列。
GFKDAIEBCHJ为所求二叉树的先序序列，DIAEKFCJHBG为二叉树的中序序列。通过观察先序序列，G为二叉树的根结点，再由中序序列，G的左子树序列为DIAEKFCJHB，右子为空。可以表示成如下形式：
G(DIAEKFCJHB，NULL)
对于子树先序序列为FKDAIEBCHJ，中序序列为DIAEKFCJHB，显然子树根为F。再由中序序列可以看到，F的左子树是DIAEK，右子树为CJHB。进一步表示成：
G(F(DIAEK,CJHB),NULL)
对于DIAEK（中序表示），先序为KDAIE，K为根，左子为DIAE，右子为空；对于CJHB，B为根，左子为CJH，右子为空。进一步表示成：
G(F(K(DIAE,NULL),B(CJH,NULL)),NULL)
G(F(K(D(NULL,IAE),NULL),B(C(NULL,JH),NULL)),NULL)
G(F(K(D(NULL,A(I,E)),NULL),B(C(NULL,H(J,NULL)),NULL)),NULL)
由此画出二叉树，进而画出树。
6.24 解：本题应注意下列转换：
树 森林 二叉树
先根 先序 先序
后根 中序 中序
6.25 解；用归纳法证明。
当n=2时，要使其成为最优二叉树，必须使两个结点都成为叶子结点。
设n=k时成立，则当n=k+1时，要使其成为最优，必须用k个结点的哈夫曼树与第k+1个结点组成一个新的最优二叉树，所以n=k+1时也成立。
6.26 解：不妨设这8个结点为A、B、C、D、E、F、G、H，其相应的权为7、19、2、6、32、3、21、10。
A:1101 B:01 C:11111 D:1110 E:10 F:11110 G:00 H:1100
采用这种方式编码，电文最短。
6.27 解：
6.33 解：
int Visit(int u,int v)
{
if(u==v) return 1;
if(L[v]==0){//左子树不存在
if(R[v]==0)//右子树也不存在
return 0;
else{// 右子树存在，继续访问右子树
if(Visit(u,R[v])) return 1;
else return 0;
}
}
else{// 左子树存在
if(Visit(u,L[v]))// 左子树中存在目标
return 1;
else{// 左子树中没有目标，需访问右子树
if(R[v]0)// 没有右子树
return 0;
else{// 右子树存在，继续访问右子树
if(Visit(u,R[v])) return 1;
else return 0;
}
}
}
}
6.34 解：
int Visit(int u,int v)
{
int Nv;
Nv=NumElem(v); // 返回结点v的下标
if(Nv-1) exit(-2); // 结点v不存在，退出
if(u==v) return 1;
if(L[Nv]==0){//左子树不存在
if(R[Nv]==0)//右子树也不存在
return 0;
else{// 右子树存在，继续访问右子树
if(Visit(u,R[Nv])) return 1;
else return 0;
}
}
else{// 左子树存在
if(Visit(u,L[Nv]))// 左子树中存在目标
return 1;
else{// 左子树中没有目标，需访问右子树
if(R[Nv]==0)// 没有右子树
return 0;
else{// 右子树存在，继续访问右子树
if(Visit(u,R[Nv])) return 1;
else return 0;
}
}
}
}
// 返回结点在数组T中的下标
int NumElem(int x)
{
int i=0;
while(i
else return -1;
}
6.35 解：
#define N 8
char T[N]={‘0’,‘a’,‘b’,‘c’,‘d’,‘e’,‘f’,‘g’};
// 用顺序数组存储，0为头结点，
// a为根结点，b为左子树，c为右子树，…
// 若某结点编号为奇数，
// 则它必为其双亲的右孩子，否则为左孩子
// 编号为k的结点的双亲结点的编号为k/2
int NumTree(char c);// 求结点在树中的编号
int Exp(int a,int b);// 求a的b次方
int NumElem(char c);// 返回元素在数组中的下标
int main()
{
char c;
cout<<“请输入结点的值：”;
cin>>c;
cout<
}
int NumTree(char c)// 求结点在树中的编号
{
int k,i=0;
int Code[N];
k=NumElem©; // 返回结点c的下标
if(k==-1) exit(-2); // 结点c不存在，退出
while(k){
// 如果k为偶数，记录一个代码1
if(k%2==1) Code[i]=1;
else Code[i]=0;
k=k/2;
i++;
}
int x=0,j;
for(j=0;j}
int Exp(int a,int b)
{
int i;
int x=1;
for(i=0;i
return x;
}
// 返回结点在数组T中的下标
int NumElem(char c)
{
int i=0;
while(i
else return -1;
}
6.36 解：
Status SimilarTree(BiTree& T1,BiTree& T2)
{
if(!T1){// T1是空树
if(!T2) return TRUE;// T2是空树
else return FALSE;
}
else{// T1是非空树
if(!T2) return FALSE;
else{// T2是非空树
if(SimilarTree(T1->lchild,T2->lchild)
&& SimilarTree(T1->rchild,T2->rchild))
return TRUE;
else return FALSE;
}
}
}