排列组合问题
排列组合问题
排列组合是组合数学里的两大经典问题，下面我们先来看一下它的定义：
排列：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：一般地,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,（即不考虑顺序），叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
一、全排列问题
首先我们可以先简化一下这个问题，就令 n = m n=m n=m，我们可以讨论一下做法。
这个问题很容易看出，我们可以简单粗暴的用dfs暴力求解，当需要排列的数字为n时，时间复杂度明显是 O ( 2 n ) O(2^{n}) O(2n)，效率有点低吧，不过应该不能优化了。其中b数组用于判重。
代码如下（只有P的老师别打我）：
procedure try(x:longint);
var
i:longint;
begin
if x>m then
begin
print;
exit;
end;
for i:=1 to n do
if not b[i] then
begin
a[x]:=i;
b[i]:=not b[i];
try(x+1);
b[i]:=not b[i];
end;
end;
在这里安利一波stl库的做法（STL大法好），我们可以用下面这个代码来求解n个元素的全排列问题：
cin >> a;
sort(a,a+n);
int ans=0;
do{
puts(a);
ans++;
}while(next_permutation(a,a+n));
cout << ans;
那么这个东西捏，也就是next_permutation这个函数（划重点），它存在于c++的algorithm库中，用途是求a数组的下一个字典序排列，还有个bool类型的返回值，可以直接用于循环的判断。
那么我们现在来看一下全排列问题当 n ≤ m n\leq m n≤m时，我们又应该怎么办呢？
在我们的dfs程序里只要将输出的判断参数n改成m就行了好白痴啊233。时间复杂度$O(n^{m}) $.
二、全组合问题
明显我们可以看出，这个问题相类似与全排列问题，不过需要判断重复而已。那么其实也很容易想到，我们只需要从前往后搜，不回头就一定不会出现重复的组合并且它一定是按字典序排列的。所以我们可以在我们的dfs中增加一个参数，每次记录下当前搜到的位置，传到下一层就从这个位置的后一位继续搜。
时间复杂度，emmm，好像很难算的样子，应该可以用组合公式求出，就先卖一个关子。
在luogu上还有这样子的玄学做法：将一个数组x的m项赋值为0，其它赋值为1，先从小到大排序，就可以通过上面那一个next_permutation这个函数来求每一个x数组的每一个排列。在每一个排列中，我们可以输出x数组中值为0的项。复杂度 O ( n m ⋅ m ) O(n^{m}·m) O(nm⋅m).
代码。。给一下吧：
for(int i=r+1;i<=n;++i)
x[i]=1;
do{
for(int i=1;i<=n;++i)
if(x[i]==0) printf("%3d",i);
printf("\n");
}while(next_permutation(x+1,x+n+1));
其实这两个问题的裸题很水的呢。。。。。。
拓展：
排列以及组合在数学上的公式
其实这个不算拓展，很基础的了，小学奥数学过的都知道。
排列:首先从n个数中取得m个数的排列可以用这个 A n m A_{n}^{m} Anm来表示，有时候我们也用P，然后这个东西又有这样子的公式存在：
A n m = ∏ i = n − m + 1 n i = n ! ( n − m ) ! A^{m}_{n}=\prod^{n}_{i=n-m+1}i=\frac {n!} {(n-m)!} Anm=i=n−m+1∏ni=(n−m)!n!
这个东西捏，还比较好证，我已经想到了一种巧妙的证明方法，但这里空白太小，写不下了（逃
组合：这个东西可以用这个 C n m C^{m}_{n} Cnm来表示，这玩意儿的公式长成这样：````````````
C n m = A n m A m m = n ! m ! ( n − m ) ! = ∏ i = n − m + 1 n ÷ m ! , C n 0 = 0 C_{n}^{m}=\frac {A_{n}^{m}} {A^{m}_{m}}=\frac {n!} {m!(n-m)!}=\prod^{n}_{i=n-m+1}\div {m!} ,C^{0}_{n}=0 Cnm=AmmAnm=m!(n−m)!n!=i=n−m+1∏n÷m!,Cn0=0
长得很丑，但是真的很好用啊啊啊。
Lucas定理
这个东西捏，就是这么一个东西： C m n % p = C m / p n / p × C m % p n % p % p C^{n}_{m}\%p=C^{n/p}_{m/p}\times C^{n\%p}_{m\%p}\%p Cmn%p=Cm/pn/p×Cm%pn%p%p.
这么一长串，本蒟蒻也不清楚怎么证明，想要看证明的话，请出门右拐，不过你可能需要较强的数学基础和数论功底才能看懂这个东西。
贴下代码（引用于这里）
int Lucas (ll n , ll m , int p)
{
return m == 0?1:1ll*comb(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
至于那个comb函数，就是一个普通的组合函数啦，取过膜的，就直接暴力问题不大。
时间复杂度 O ( l o g p n ∗ p ) O(log_{p}n*p) O(logpn∗p),这里p指的是模数且为质数。
但在p=2的时候，我们可以用一些玄学算法来搞一搞。因为要判断它的奇偶性，我们可以将它转换成二进制，然后数它1的个数，当且仅当n，m两个数字2的因子个数相同时，这个式子才是奇数，不然就是偶数。二进制能让我们想到什么？位运算啊~所以我们可以用这个式子if n&m==m来判定奇偶性。
牛顿二项式定理
实在不想贴这玩意儿，太长了……就不用markdown了，直接贴上公式：
(a+b)n=C(n,0)an+C(n,1)a(n-1)b+…+C(n,i)a(n-i)bi+…+C(n,n)bn
在中国也叫杨辉三角形，就是一个三角形，自行百度可以看看这玩意儿长什么样，其实就是我们可以发现杨辉三角第n行第m项就是 C n − 1 m − 1 C^{m-1}_{n-1} Cn−1m−1的值，是这样没错了……吧。
以上就是本人对排列组合问题的一点见解，如有不对欢迎指正。