整数的整除特性

2,5

末尾数是偶数，因为10a+b

3,9

所有位相加可以被3整除，因为10a+b=(9+1)*a+b

4,25

最后两位可以整除，因为100=4*25

8,125

最后三位可以整除，因为1000=8*125

6

同时被2和3整除，各位数字之和是3的倍数的偶数

7,11,13,9

去掉最后3位的数-最后3位的数能被整除
证明：利用1001=7x11x13的特性
1000a+b
=(1001-1)a+b
=1001a-(a-b)
同样适用于9

11

1. 奇数位和和偶数位和的差能被11整除
   证明：
   注意到下列事实：
   一 99，9999，……，偶数位纯9数必能被11整除；
   二 1001，100001，……，中间的0的个数为偶数的10……01必能被11整除。
   下面证明，为易懂，以3位数为例。
   10000a+1000b+100c+10d+e
   =(9999a+a)+(1001b-b)+(99c+c)+(11d-d)+e
   =9999a+1001b+99c+11d+[(a+c+e)-(b+d)].
   因为9999a+1001b+99c+11d能被11整除，
   所以，只要(a+c+e)-(b+d)能被11整除，原五位数就能被11整除，

2. 分成2位一组，各组数相加能整除
   证明：以4位数为例
   100a+b
   =(99+1)a+b
   =99a+(a+b)

摘录

整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除
整除规则第十一条（11）：将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，如果差值能被11整除（包括差值为0）则原数可以被11整除。
整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除
整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除
整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除
整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除
整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
整除规则第二十一条（21）：若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除
整除规则第二十二条（22）：（9的无敌乱切）把一个整数分成若干段之和能被9整除，则这个数能被9整除
整除规则第二十三条（23）：（11的无敌乱切）把一个整数分成若干段，每段的末尾为奇数位加，偶数位减，结果能被11整除，则这个数能被11整除
整除规则第二十四条（24）：（a）若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除
（b）若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除，则这个数能被101整除
切记：0 不能做除数！