Hile每日算法-4.23-左偏树

左偏树

咕咕咕

好久没写博客了，之前坚持三天就鸽了证明自己一个月啥都没学，以后还是要写的。

以下内容参考了大佬的博客和luoguP3377的题解区，%%%。

堆，这个肯定都知道。“不就是优先队列吗”，本来一直保持着这样的想法，直到前几天帮室友验一道给数据结构基础课出的题时，突然发现自己连个堆都实现不来（这就是不听课的后果）有一说一真的菜b，于是为了偷懒（？学了一个神奇的数据结构——左偏树。

首先，我们知道堆的两个性质：

[1].堆是一棵完全二叉树

[2].堆上各结点的值从根往下具有单调性（此处指非严格单调性即可以相等，下同）

由此，我们可以得到一些结论：

[3].设结点数量为$n$的堆的最大深度为$d$，由[1]得$2^d\le 2^{lo{g}_{2}n+1}$，深度最大为$lo{g}_{2}n+1$

[4].由[2]&[3]得，要将根节点调整为最值，最多从根开始遍历一整条链。因此往堆中增删根结点，调整堆的时间复杂度是$O(logn)$

所以，我们就获得了一个$O(logn)$时间动态求最值的数据结构。

但是，更进一步，如果要求合并两个大顶堆，该怎么做呢？

这题我会暴力啊 显然，如果操作数和$n$差不多的话，暴力就会导致$O(n^{2}logn)$的整体复杂度，这时就应该换个数据结构了。

左偏树（Leftist Tree/Leftist Heap）

在说左偏树之前，我们需要定义一个变量$di{s}_i$，其定义为$i$结点和最近空结点的距离$-1$，当$i$为空结点时$di{s}_i=-1$，正是由于$dis$的存在，我们才能保证左偏树的效率。

首先，仿照堆，我们也说说左偏树的性质：

[1].对于左偏树上的所有结点，都存在$di{s}_{ls}\ge di{s}_{rs}$，其中$ls,rs$分别指当前点的左右子结点

[2].左偏树上各结点的值和$dis$从根往下具有单调性

类比上面对堆的描述，我们也可以得到一些结论：

[3].由[1]&[2]得，对于每一个结点总存在$di{s}_i=di{s}_{rs}+1$，其中$rs$为$i$的右孩子。

[4].设结点数量为$n$的左偏树的**根节点的$dis$**为$d$，由[1]&[3]得$2^{d+1}\le n+1$，$d$最大为$lo{g}_2(n+1)-1$

在上面的性质和结论的基础上，我们就可以进行核心的合并操作了：

设有两棵根节点为最小值的左偏树$a$和$b$，$v_i$表示$i$结点的值，$r_i$表示$i$结点的右孩子，假设$v_a\le v_b$。

由[3]&[4]，我们可以知道一棵$n$个结点的左偏树最多有$logn$条的从根一直往右的边（下称为右向边），从而可以在$O(logn)$的时间内在右向边上找到一个$v_a\le v_i\le v_b\le v_{r_i}$，所以可以不影响左偏性地将$b$插入到$i$和$r_i$之间，随后从$b$开始往$a$更新$dis$，同时判断是否存在不满足[3]的情况，若存在则交换当前结点的左右子树。

于是就愉快地结束啦！什么？你问怎么删除堆顶？

没问题呀，左偏树的子树都具有左偏性质，去掉堆顶就相当于把原来的根的两棵子树重新合并，直接把之前的根重置后merge就好了。

（图片来源：洛谷）

那就趁热来一……道例题吧！

hdu1512 Monkey King

题意大致是，初始有$n$个互不认识的猴子，每个猴子都有一个战斗力，他们会打$m$场架，每场架的双方为$a$和$b$，双方会找各自的朋友中战斗力最高的那个（可能是他自己）来打架，之后双方打了架的猴子元气大伤战力减半，然后两方猴成为了朋友（不打不相识？，对于每个$a$和$b$，若双方已经为朋友则输出$-1$，否则输出打完架之后，这一帮猴子中最高的战斗力。

这就是左偏树模板题了（虽然二项堆/斐波那契堆/配对堆好像也能做，不过我太菜了还不会），初始有$n$个大顶堆，每次打架取出两堆顶，减半后放入原堆并把两个堆合二为一并用并查集维护朋友关系。左偏树写起来就很简单，来回merge一下就ac啦，单组数据时间复杂度$O(mlogn)$。

AC代码：

#include
#define N 100010
using namespace std;
int n;
struct LeftTree
{
    int d,v,l,r,f;//分别代表dis,value,leftson,rightson,father
}lt[N];
void init(int n)//多组数据初始化
{
    for(int i=1;i<=n;i++)lt[i].f=i,lt[i].l=lt[i].r=lt[i].v=lt[i].d=0;
}
int find(int x)//并查集
{
    return (x^lt[x].f)?lt[x].f=find(lt[x].f):x;
}
int merge(int x,int y,int rt=0)//返回新堆的根
{
    if(!x||!y){lt[x+y].f=rt?rt:x+y;return x+y;}
    if(lt[x].v<lt[y].v)swap(x,y);//大顶堆
    lt[x].f=rt?rt:rt=x;//更新父结点（根）
    lt[x].r=merge(lt[x].r,y,rt);//递归右子树
    if(lt[lt[x].l].d<lt[lt[x].r].d)swap(lt[x].l,lt[x].r);//调整左右结点dis
    lt[x].d=lt[lt[x].r].d+1;
    return x;
}
int m,x,y;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>n)
    {
        init(n);
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>lt[i].v;
        cin>>m;
        while(m--)
        {
            cin>>x>>y;
            int a=find(x),b=find(y),c,d,e;
            if(a==b)
            {
                cout<<-1<<"\n";
                continue;
            }
            lt[a].v>>=1;lt[b].v>>=1;
            //注意取出堆顶之后要将左右孩子置空，不然会出现两结点互为父亲的情况
            c=merge(lt[a].l,lt[a].r);lt[a].l=lt[a].r=0;
            d=merge(lt[b].l,lt[b].r);lt[b].l=lt[b].r=0;
            a=merge(a,c);b=merge(b,d);//放回减半的结点
            e=merge(a,b);//合并两棵树
            cout<<lt[e].v<<'\n';
        }
    }
}

P.S：一直有个疑问，树上的“结点”和“节点”应该用哪个，还是说哪个都可以吗直接说node不香吗