【机器学习】【基本理论】结构风险、结构风险、损失函数
损失函数：用来估量你模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度，它是一个非负实值函数,通常使用L(Y, f(x))来表示，损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。
经验风险：一个损失函数的函数
结构风险：可简单理解为经验风险（一种损失函数的函数）+λ正则化项。因此，模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子：
对于损失函数:
线性回归中的损失函数：平方损失函数，可以通过线性回归在假设样本是高斯分布的条件下推导得到.
逻辑回归中的损失函数：log损失函数，在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等。而逻辑回归并没有求似然函数的极值，而是把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数（即max F(y, f(x)) —-> min -F(y, f(x)))。
log损失函数形式：L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)，
这里，取对数是为了方便计算极大似然估计。损失函数L(Y, P(Y|X))表达的是样本X在分类Y的情况下，使概率P(Y|X)达到最大值（换言之，就是利用已知的样本分布，找到最有可能（即最大概率）导致这种分布的参数值；或者说什么样的参数才能使我们观测到目前这组数据的概率最大）。因为log函数是单调递增的，所以logP(Y|X)也会达到最大值，因此在前面加上负号之后，最大化P(Y|X)就等价于最小化L了。
逻辑回归的P(Y=y|x)表达式如下（为了将类别标签y统一为1和0，下面将表达式分开表示）：
将它带入到上式，通过推导可以得到logistic的损失函数表达式，如下：
逻辑回归最后得到的目标式子如下：
上面是针对二分类而言的。这里需要解释一下：之所以有人认为逻辑回归是平方损失，是因为在使用梯度下降来求最优解的时候，它的迭代式子与平方损失求导后的式子非常相似，从而给人一种直观上的错觉。
这里有个PDF可以参考一下：Lecture 6: logistic regression.pdf.
二、平方损失函数（最小二乘法, Ordinary Least Squares ）
最小二乘法是线性回归的一种，OLS将问题转化成了一个凸优化问题。在线性回归中，它假设样本和噪声都服从高斯分布（为什么假设成高斯分布呢？其实这里隐藏了一个小知识点，就是中心极限定理，可以参考【central limit theorem】），最后通过极大似然估计（MLE）可以推导出最小二乘式子。最小二乘的基本原则是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。换言之，OLS是基于距离的，而这个距离就是我们用的最多的欧几里得距离。为什么它会选择使用欧式距离作为误差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下几个原因：
- 简单，计算方便；
- 欧氏距离是一种很好的相似性度量标准；
- 在不同的表示域变换后特征性质不变。
平方损失（Square loss）的标准形式如下：
当样本个数为n时，此时的损失函数变为：
Y-f(X)表示的是残差，整个式子表示的是
残差的平方和，而我们的目的就是最小化这个目标函数值（注：该式子未加入正则项），也就是最小化残差的平方和（residual sum of squares，RSS）。
而在实际应用中，通常会使用均方差（MSE）作为一项衡量指标，公式如下：
上面提到了线性回归，这里额外补充一句，我们通常说的线性有两种情况，一种是因变量y是自变量x的线性函数，一种是因变量y是参数 αα的线性函数。在机器学习中，通常指的都是后一种情况。
三、指数损失函数（Adaboost）
学过Adaboost算法的人都知道，它是前向分步加法算法的特例，是一个加和模型，损失函数就是指数函数。在Adaboost中，经过m此迭代之后，可以得到fm(x)fm(x):
Adaboost每次迭代时的目的是为了找到最小化下列式子时的参数αα 和G：
![$$\arg \min_{\alpha, G} = \sum_{i=1}^{N} exp[-y_{i} (f_{m-1}(x_i) + \alpha G(x_{i}))]$$](http://img.e-com-net.com/image/info8/2f55713d95cc49e9a477d61f576999cb.gif)
而指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下
![$$L(y, f(x)) = \exp[-yf(x)]$$](http://img.e-com-net.com/image/info8/62a9e48c779447f5a8c94151e622bbdf.gif)
可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：
![L(y, f(x)) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\exp[-y_if(x_i)]](http://img.e-com-net.com/image/info8/33cab45b2de24c5fbc442bbf30e80340.gif)
关于Adaboost的推导，可以参考Wikipedia：AdaBoost或者《统计学习方法》P145.
四、Hinge损失函数（SVM）
在机器学习算法中，hinge损失函数和SVM是息息相关的。在线性支持向量机中，最优化问题可以等价于下列式子：![$$\min_{w,b} \ \sum_{i}^{N} [1 - y_i(w\cdot x_i + b)]_{+} + \lambda||w||^2 $$](http://img.e-com-net.com/image/info8/ec90cf8889894e22ae02c5db3e39c60a.gif)
下面来对式子做个变形，令：![$$[1 - y_i(w\cdot x_i + b)]_{+} = \xi_{i}$$](http://img.e-com-net.com/image/info8/89570330b3c2461cb73c61f686b29a5c.gif)
于是，原式就变成了：
如若取λ=12Cλ=12C，式子就可以表示成：
可以看出，该式子与下式非常相似：
前半部分中的ll就是hinge损失函数，而后面相当于L2正则项。
Hinge 损失函数的标准形式
可以看出，当|y|>=1时，L(y)=0。
更多内容，参考Hinge-loss。
补充一下：在libsvm中一共有4中核函数可以选择，对应的是-t参数分别是：
- 0-线性核；
- 1-多项式核；
- 2-RBF核；
- 3-sigmoid核。
五、其它损失函数
除了以上这几种损失函数，常用的还有：
0-1损失函数
绝对值损失函数
下面来看看几种损失函数的可视化图像，对着图看看横坐标，看看纵坐标，再看看每条线都表示什么损失函数，多看几次好好消化消化。
OK，暂时先写到这里，休息下。最后，需要记住的是：参数越多，模型越复杂，而越复杂的模型越容易过拟合。过拟合就是说模型在训练数据上的效果远远好于在测试集上的性能。此时可以考虑正则化，通过设置正则项前面的hyper parameter，来权衡损失函数和正则项，减小参数规模，达到模型简化的目的，从而使模型具有更好的泛化能力。
最初的最小二乘法并没有统计理论基础，只是一种数值计算方法。一般只求使∑(ti−y(xi,θ))2∑(ti−y(xi,θ))2最小的θ^θ^,也不考虑t的具体模型假设是什么。当我们学习最小二乘的时候，我们总是会问，问什么我们取差的平方和，而不取差的绝对值，或者四次方的和呢？答案是最小二乘法为人们所熟知所运用，最根本的原因是，它与高斯模型下的极大似然估计的结果是一致的！因此，我们使用最小二乘而不使用最小一乘或四乘是有道理的。
损失函数是用来做预测的，属于决策理论的范畴。在一个估计好的模型t=f(x,θ^)+ϵt=f(x,θ^)+ϵ下，我们如何对一个预测变量x′x′的输出t′t′进行预测呢？用t^′=f(x′)t^′=f(x′)作预测呗。有没有想过其原因呢？其实，这时t′t′是一个随机变量，这个随机变量可能会取各种各样的值，用f(x′)f(x′)作为t′t′的预测值，在ϵϵ服从0均值正态分布假设下，意味着用一个随机变量的均值对一个随机变量做预测。显然，预测不可能准确，也就是说t′−t^′t′−t^′不可能为0。但是，在使（t′−t^′)2（t′−t^′)2最小的情况下，用均值做预测是最好的选择。而（t′−t^′)2（t′−t^′)2就是平方损失函数，即预测可能发生的损失。在其他损失函数下，比如∥t′−f(x′)∥‖t′−f(x′)‖,这时用均值做预测，就不会让这个损失函数最小，反而用中位数会更好。
参考文章：
http://www.csuldw.com/2016/03/26/2016-03-26-loss-function/
- https://github.com/JohnLangford/vowpal_wabbit/wiki/Loss-functions
- library_design/losses
- http://www.cs.cmu.edu/~yandongl/loss.html
- http://math.stackexchange.com/questions/782586/how-do-you-minimize-hinge-loss
- http://gaolei786.github.io/statistics/error.html
- 《统计学习方法》 李航 著.