【线性 dp】B017_LC_将字符串翻转到单调递增（分类讨论）

一、Problem

如果一个由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的字符串，是以一些 ‘0’（可能没有 ‘0’）后面跟着一些 ‘1’（也可能没有 ‘1’）的形式组成的，那么该字符串是单调递增的。

我们给出一个由字符 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的字符串 S，我们可以将任何 ‘0’ 翻转为 ‘1’ 或者将 ‘1’ 翻转为 ‘0’。

返回使 S 单调递增的最小翻转次数。

示例 1：
输入："00110"
输出：1
解释：我们翻转最后一位得到 00111.

示例 2：
输入："010110"
输出：2
解释：我们翻转得到 011111，或者是 000111。

示例 3：
输入："00011000"
输出：2
解释：我们翻转得到 00000000。

提示：

1 <= S.length <= 20000
S 中只包含字符 ‘0’ 和 ‘1’

二、Solution

方法一：dp

突破点在弄清楚第 $i$ 为字符为 0/1 时翻转策略，就两种吧：翻转/不翻转；两种决策都不会对后面的结果造成干扰，故可用 dp

• 定义状态：
  • $f[i]$ 表示将前 $i$ 个字符变为单调递增的最少翻转次数
• 思考初始化：
  • $f[0]=0$
• 思考状态转移方程：
  • $s[i]=0$ 时，$f[i]=min(c1,f[i-1]+1)$，不翻转该位置的 0 的话，如果要保持递增只能翻转前面的所有 1 咯；翻转的话，次数加 1
  • $s[i]=1$ 时，$f[i]=min(f[i-1],c1+1)$，1 就是我们想要的，所以不用翻转，此时的翻转次数就取决于前面的翻转情况了；翻转的话，只能去翻转前面的以及当前的 1
• 思考输出：$f[n]$

class Solution {
public:
    int minFlipsMonoIncr(string s) {
    	int n = s.size(), c1 = 0;
    	vector<int> f(n+1); f[0] = 0;
        
    	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    		if (s[i-1] == '0') f[i] = min(c1, f[i-1] + 1);
    		else 			   f[i] = min(f[i-1], ++c1);
    	}
    	return f[n];
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，
• 空间复杂度：$O(1)$，