形函数的构造原理-有限元形函数的几个种类

在有限元法中，形函数是一个十分重要的概念。它不仅可以用做单元的内插函数，把单元内任一点的位移用节点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为节点上的集中力和力矩，此外，它还可用于后续的等参数单元的坐标变换等。
1形函数的构造原理
单元形函数主要取决于单元的形状、节点类型和单元的节点数目。节点的类型可以是只包含场函数的节点值，也可能还包含场函数导数的节点值。是否需要场函数导数的节点值作为节点变量，一般取决于单元边界上的连续性要求:如果边界上只要求函数值保持连续，称为co型单元;若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是cl型单元。
在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幕函数多项式形式。对于co型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角(端)节点的参数来表示。节点参数只包含场函数的节点值。而对于C1型单元，节点参数中包含场函数及其一阶导数的节点值。与此相对应，形函数可分为拉格朗日(Lagrange)型(不需要函数在节点上的斜率或曲率)和厄米特( Hermite)型(需要形函数在节点上的斜率或曲率)两大类。而形函数的幕次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次或更高次等。
另外，有限元形函数N是坐标x、y、z的函数，而节点位移不是x、y、z的函数，因此静力学中的位移对坐标徽分时，只对形函数N作用，而在动力学中位移对时间t微分时，只对节点位移列阵起作用。

1.1 常用单元的形函数

（1）一维一次两节点单元（杆单元）

（2）二维一次三节点单元(平面三角形单元)

（3）三维一次四节点单元(三维四面体单元)

(4)一维二次三节点单元(高次单元)

(5)一维三次四节点单元(Lagrange型)

（6）一维三次二节点单元（Hermite型）（平面梁单元）

(7)二维一次四节点单元(平面四边形单元或矩形单元)

(8)三维一次八节点单元(Brick单元)

1.2 形函数的构造规律—帕斯卡三角形

上述各种位移函数的构造有一定的规律，可以根据所谓的帕斯卡三角形加以确定，同时，这样制订的位移模式，还能够满足有限元的收敛性要求。以下是几种典型情况。
1)一维两节点单元的情况，见图39.4-1,
2)一维三节点单元的情况，见图39.4-2.
3)二维高阶单元的情况，见图39.4-3~图39.4-6.

由以上可以看出，形函数可以按照帕斯卡三角形构造，具体方法是
1)按照所研究间题的维数绘制坐标轴，一维对应一个坐标轴，二维对应两个坐标轴，三维对应三个坐标轴。
2)按照所选单元的节点数，用三角形、矩形或长方体在帕斯卡三角形上圈定相应区域。
3)对应写出位移函数的插值公式，即形函数。