【题解】LuoGu5664：Emiya 家今天的饭
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每行最多取一个告诉我们可以枚举行
所以这道题目总体复杂度里肯定有行的复杂度 O ( n ) O(n) O(n)
考场上写的是 m = 2 / 3 m=2/3 m=2/3的暴力，直接把每一列分别取了几个写到状态里面去
正解需要考虑正难则反
我们写直接将每行最多一个当作大前提
要求的是没有一列取了超过一半的东西
那么这个答案其实 =所有方案-有一列取了超过一半的方案
这里就有一个重要性质：最多只有一列会超过一半（虽然显然但是我考场上并没发现）
令
s i s_i si表示第 i i i行的和
g i , j g_{i,j} gi,j表示前 i i i行选了 j j j个的方案数
f i , j f_{i,j} fi,j表示前 i i i行，超过一半的列比其他所有多 j j j个的方案数
先求 g i , j g_{i,j} gi,j
g i , j = g i − 1 , j + s i ∗ g i − 1 , j − 1 g_{i,j}=g_{i-1,j}+s_i*g_{i-1,j-1} gi,j=gi−1,j+si∗gi−1,j−1
再求 f i , j f_{i,j} fi,j
我这个状态的设计已经将超过一半的情况表示了出来，但是并没有表示超过的一半的列是哪一列
但是我们可以枚举超过一半的列，再具体求 f f f，因为枚举的复杂度是 O ( m ) O(m) O(m)，求值的复杂度是 O ( n m ) O(nm) O(nm)，所以，求 f f f数组的值为本题主要复杂度， O ( n 2 m ) O(n^2m) O(n2m)
令第 k k k列选择的东西超过了一半
f i , j = f i − 1 , j + a i , k ∗ f i − 1 , j − 1 + ( s i − a i , k ) ∗ f i − 1 , j + 1 f_{i,j}=f_{i-1,j}+a_{i,k}*f_{i-1,j-1}+(s_i-a_{i,k})*f_{i-1,j+1} fi,j=fi−1,j+ai,k∗fi−1,j−1+(si−ai,k)∗fi−1,j+1
答案为 ∑ i = 1 n f n , i \sum_{i=1}^{n}f_{n,i} i=1∑nfn,i
Code：
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