码手西风
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矩阵分析 第二章 lambda矩阵和Jordan标准型

这一章的知识太杂了，有必要整理一下

 

什么是\lambda矩阵

矩阵元素是\lambda的多项式就是\lambda矩阵

\lambda矩阵的秩

行列式可以是\lambda的多项式但是能是零，就可以求

\lambda矩阵的逆

首先，求它的行列式，只有行列式为常数且非0；这个矩阵才有逆。

然后求伴随矩阵，再除于这个行列式

\lambda矩阵的Smith标准型（不要和Smith正交化搞混）

任何一个\lambda矩阵都等价于一个对角型矩阵

矩阵分析 第二章 lambda矩阵和Jordan标准型_第1张图片

对角元素称作是此\lambda矩阵的不变因子。

初等变换法求\lambda矩阵的Smith标准型

我们知道任何\lambda矩阵都和对角矩阵等价，所以一定可以用初等变换去求这个对角矩阵。

练习：p60--63

smith标准型是唯一的

也就是：一旦两个\lambda矩阵等价，它们的行列式因子相同；不变因子也相同。

另外：\lambda矩阵可逆的充要条件是行列式是非零常数，或者\lambda矩阵和单位矩阵等价。

 

初等因子

什么是初等因子

矩阵分析 第二章 lambda矩阵和Jordan标准型_第2张图片

由此可知：如果两个\lambda矩阵等价，那么它们的不变因子相等（因为smith矩阵唯一），不变因子相等也就意味着，初等因子相等。

所以：两个\lambda矩阵等价的充要条件又多了一个；初等因子相等且秩相等（因为初等因子是排除了不变因子的常数的）

不变因子与初等因子 相似条件

从不变因子中求初等因子：就是不要 1 ，并将 不变因子 以底数不同而分开；有重复；具体看上面的例子；

从不变因子求smith标准型：初等因子，求  不变因子就是Smith矩阵的对角元素

行列式因子求不变因子：不变因子等于行列式因子之间做除法

矩阵的特征多项式是不变因子的乘积

知道初等因子就可以求Jordan标准型：初等因子的次数决定了对角线的元素个数，初等因子的\lambda决定了元素。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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