【线代】特征值、特征向量、相似矩阵

知识点

• 定义6：特征值、特征向量、特征方程、特征多项式。[《线代》P120]
• 可逆矩阵的充分必要条件。[《线代》P120]
• 特征值的性质。[《线代》P123]
• 定理2及其推论： 特征值之间的关系与特征向量之间的关系。[《线代》P123]
• 定义7：相似矩阵、相似变换。[《线代》P124]
• 定理3及其推论：相似矩阵特征值之间的关系。[《线代》P124]
• 定理4及其推论：n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充要条件。[《线代》P125]
• 两个关于对称矩阵的特征值和特征向量的性质。[《线代》P127]
• 定理5及其推论。[《线代》P128]

全书例题分析

特征值，特征向量的求法

特征值和特征向量列表。[《全书》P400]

两个矩阵有相同的特征值的证明

略

关于特征向量

略

矩阵是否相似于对角阵的判别

当线性无关特征向量个数不少于对应特征值的重数时，A不能相似于对角阵。
判别A是否相似于对角阵的步骤如下：

1. 看A是否是实对称阵，实对称阵必相似于对角阵。
2. A不是实对称阵时，看A是否有n个互不相同的特征值，若有n个互不相同的特征值，则A相似于对角阵。
3. 若A有r重根的特征值，对应有r个线性无关特征向量，则A相似于对角阵，否则A不能相似于对角阵。

利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数

利用定义设未知数求解即可。

由特征值、特征向量反求A

• 若A是实对称阵，A必相似于对角阵。
• 实对称阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，从而反求A时，不必给出全部特征向量，这里实对称的条件是重要的。
• 用正交相似于^来反求A，由于正交阵Q满足Q^T=Q^-1，用转置来实现求逆，减少了求逆计算工作量是方便的。

矩阵相似及相似标准形

略

相似对角阵的应用

在一些计算中将方阵转换为对应的相似对角阵（如果存在的话）可以简化计算。特别是在矩阵求幂的计算中，可以使用对角化来简化计算。