Octave 入门教程：向量

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  本内容将介绍 Octave 中的向量的创建、引用及相关运算。

一、向量

1.1 创建向量

  向量分为行向量和列向量，其创建方法如下：

	输入方法	描述
行向量	[$a_1,a_2,\cdots ,a_n$]	将元素使用方括号括起来，使用空格或者逗号分隔元素。
列向量	[$a_1;a_2;\cdots ;a_n$]	将元素使用方括号括起来，使用分号分隔元素。

  例如：

>>a1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
a1 =

   1   2   3   4   5   6   7   8

>>a2 = [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8]
a2 =

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8

>>

1.2 创建等差元素向量

  当我们需要创建一个等差元素的向量时，我们可以采用上面的直接输入法进行创建。但是当元素数量很多时，会很麻烦。
  假如需要创建一个向量 v，其第一个元素为 s，最后一个元素为 e，元素之间的差异是 step，可以通过以下方法创建：

v = [s: step: e]

  例如：

>> a = [1: 2 : 9]
a =

   1   3   5   7   9

>>

1.3 引用向量的元素

  可以通过多种方式来引用向量的一个或多个元素，具体方法如下：

方法	描述
a(i)	引用向量 a 的第 i 个元素（索引值从 1 开始）
a(: )	引用向量 a 中的所有元素
a(m:n)	引用向量 a 的第 m 到 n 个元素（索引值从 1 开始）

  例如：

>>a1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];
>>a2 = [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8];
>>a1(2)   % 输出向量 a1 的第 2 个元素
ans =  2
>>a2(6)   % 输出向量 a2 的第 6 个元素
ans =  6
>>a1(:)   % 输出向量 a1 的所有元素
ans =

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8

>>a2(3:6)  % 输出向量 a2 的第 3 到 6 个元素
ans =

   3
   4
   5
   6

>>

1.4 向量运算

1.4.1 向量的加减法

  当两个向量进行加减法时，这两个向量的元素必须有相同的类型和数量。向量加减法产生相同类型的新向量，原始向量的每个元素逐一进行加减法。
  例如：

>>a = [6, 9, 7, 10];
>>b = [2, 3, 6, 9];
>>c = a + b;
>>d = a - b;
>>disp(c)
    8   12   13   19
>>disp(d)
   4   6   1   1
>>

1.4.2 标量向量乘法

  将一个数字乘以一个标量，这称为标量乘法。标量乘法产生相同类型的新向量，原始向量的每个元素乘以数字。
  例如：

>>a = [6, 9, 7, 10];
>>b = 5 * a
b =

   30   45   35   50

>>

1.4.3 转置向量

  转置操作时将列向量更改为行向量，反之亦然。转置操作由单引号（'）表示。

1.4.4 附加向量

  Octave 允许将多个向量附加在一起从而创建新的向量。
  假设存在两个行向量 r1（有 m 个元素） 和 r2（有 n 个元素），可以通过以下附加操作创建一个拥有 m+n 个元素的行向量 r：

v = [v1, v2]

  如果上面的 m = n（即行向量 r1 和 r2 拥有相同数量的元素），可以通过以下附加操作，创建一个 2*m 的矩阵 rMatrix：

v = [v1; v2]

  假设存在两个列向量 c1（有 m 个元素）和 c2（有 n 个元素），可以通过以下附加操作创建一个拥有 m+n 个元素的列向量 c：

v = [v1; v2]

  如果上面的 m = n（即列向量 c1 和 c2 拥有相同数量的元素），可以通过以下附加操作创建一个拥有 m*2 的矩阵 cMatrix：

v = [v1; v2]

  例如：

>> v1 = [1, 2, 3, 4];
>> v2 = [5, 6, 7, 8];
>> v = [v1, v2]
v =

   1   2   3   4   5   6   7   8

>> v = [v1; v2]
v =

   1   2   3   4
   5   6   7   8

>> v3 = [1; 2; 3; 4];
>> v4 = [5; 6; 7; 8];
>> v = [v3; v4]
v =

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8

>> v = [v3, v4]
v =

   1   5
   2   6
   3   7
   4   8

>>

1.4.5 向量的模

  假设向量 $V$ 拥有 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 元素，其模由以下公式求出：
$$|V|=\sqrt{(v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2)}$$
  在 Octave 中按照以下步骤求向量的模：

• 使用数组乘法（.*）得到向量 sv（向量 sv 的元素是向量 v 的元素的平方），即 sv = v.*v。
• 使用 sum 函数得到向量 v 的元素的平方和，即向量 v 的点积。
• 使用 sqrt 函数得到和的平方根，即向量的模。

  例如：

>> v = [1, 2, 3, 4];
>> sv = v.*v;
>> dp = sum(sv);
>> mag = sqrt(dp) % 实际上 dp 的值就是 v1 和 v1 的点积，可以通过下面的 dot 函数获取
mag =  5.4772
>>

1.4.6 向量点积

  两个向量 $a=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$ 和 $b=[b_1,b_2,\cdots ,b_n]$ 的点积由以下公式求出：
$$a.b=\sum _{i=1}^n(a_i\times b_i)$$
  在 Octave 中，通过 dot 求两个向量的点积，使用语法如下：

dot(a, b)

  例如：

>> v1 = [1, 2, 3];
>> v2 = [2, 3, 4];
>> dot(v1, v2)
ans =  20

参考：
[1] https://www.w3cschool.cn/matlab/
[2] http://m.yiibai.com/matlab/