数学建模算法笔记（3）——层次分析法
原理
建立递阶层次结构模型；
（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结 果，因此也称为目标层。
（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干 个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等， 因此也称为措施层或方案层。
（每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个）
构造出各层次中的所有判断矩阵；
以 aij 表示 xi 和 xj 对Z 的影响大小之比，全部比较 结果用矩阵A=(aij)n*n表示，称 A为Z-X 之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩 阵）
定义：正互反矩阵：aij>0;aij=1/aji;
层次单排序及一致性检验；
层次单排序:
判断矩阵 A对应于最大特征值 λmax的特征向量W ，经归一化后即为同一层次相 应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
定义 **一致矩阵** :满足关系式 aij*ajk=aik 的正互反矩阵称为一致矩阵。
A为一致矩阵时才能接受A。
一致性检验
定理2： 若 A为一致矩阵，则 A的最大特征值为 n，其中n为矩阵 A的阶。对应的特征向量W=（w1,w2,…,wn）’ ,则aij=wi/wj，A的其余特征根均为零。
定理3： n阶正互反矩阵 A为一致矩阵当且仅当其最大特征根为 n，非一致时，最大特征根大于n。
判断矩阵的一致性检验的步骤
CI=（ λmax-n)/(n-1); CR=CI/RI; CR<0.1时，可以接受。
（RI＝[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45]）
层次总排序及一致性检验。
A层：m个元素，层次总排序权重：a1,a2,…,an
B层：n个元素，关于Aj层次单排序总权重分别为b1j,…,bnj
B层各因素的层次总排序权重：bi=(1-n求和)bij*aj
CR=（求和)CI(j)*aj/(求和)RI(j)a(j);
代码
fid=fopen(‘txt3.txt’,‘r’);
n1=6;n2=3;
a=[];
for i=1:n1
tmp=str2num(fgetl(fid));
a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵
end
for i=1:n1
str1=char([‘b’,int2str(i),’=[];’]);
str2=char([‘b’,int2str(i),’=[b’,int2str(i),’;tmp];’]);
eval(str1);
for j=1:n2
tmp=str2num(fgetl(fid));
eval(str2); %读方案层的判断矩阵
end
end
ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标
[x,y]=eig(a);
lamda=max(diag(y));
num=find(diag(y)==lamda);
w0=x(:,num)/sum(x(:,num));
cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)
for i=1:n1
[x,y]=eig(eval(char([‘b’,int2str(i)])));
lamda=max(diag(y));
num=find(diag(y)==lamda);
w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num));
cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);
end
cr1, ts=w1w0, cr=cr1w0
函数注释
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fopen“fopen”打开文件，赋予文件代号。FID=FOPEN（filename,permission）用指定的方式打开文件FID=+N(N是正整数)：表示文件打开成功，文件代号是N.FID=-1 : 表示文件打开不成功。(FID在此次文件关闭前总是有效的。)“permission”是打开方式参数。打开方式: r 读出
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eval eval函数的功能是将字符串转换为matlab可执行语句。
如a=’b=1’; eval(a) , 执行eval(a)相当于执行a的内容，相当于执行b=1 -
eig [V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。
习题
修正不一致的判断矩阵
- 方法一
已知判断矩阵A， λmax及其对应的特征向量w，令aij*=wi/wj；dij=|aij-aij*|，对dij最大的aij进行修改，即aij=aij*，aji=aji*。
- 方法二
第n列系数归一。各行除以第n列数，若某列数相差较大，则修改该列数使之相近，若某行数出现偏大或偏小则修改该行最后一个数。