数字信号处理DSP基础篇（一）

长时间序列的卷积运算加速方法

时域卷积

我们对长时间序列做卷积运算时通常伴随着较大的运算量，本文介绍了一种基于信号分段和FFT变换的时间卷积方法，可以有效提高运算效率。

1. 时域卷积原理
   假设卷积公示为$\mathbf{y}(n)=\mathbf{x}(n)\ast \mathbf{h}(n)$，其中$\mathbf{x}(n)=[x_1,x_2,...,x_N{]}^T,\mathbf{h}(n)=[h_1,h_2,...,h_M{]}^T$，则$\mathbf{y}(n)$的长度为$N+M-1$，卷积过程的图解为：

2. 时域卷积原理
该过程包括$M\ast (N+M-1)$次乘法，$M\ast (N+M-1)$次加法。

频域分段卷积

1. 频域卷积原理
   思路：对长序列$\mathbf{x}(n)$进行分段处理，对每一段序列${\mathbf{x}}^i(n)$进行FFT变换得到${\mathbf{X}}^i(k)$，其中$i$表示第$i$段。将${\mathbf{X}}^i(k)$与$\mathbf{h}(n)$的FFT变换结果相乘得到${\mathbf{Y}}^i(k)$，接着对${\mathbf{Y}}^i(k)$进行反傅里叶变换${\mathbf{y}}^i(n)$，最后将${\mathbf{y}}^i(n)$进行整合重构。整个过程的图解为：
   
   要点：

• Nfft应当满足$Nfft=N_x+N_h-1$，因为分段信号${\mathbf{x}}^i(n)$和$\mathbf{h}(n)$的卷积结果长度为$N_x+N_h-1$，如果$Nfft<N_x+N_h-1$，会出现混叠的现象，无法恢复正确的信号${\mathbf{y}}^i(n)$。

2. 运算量
   由于$N$点FFT的运算量为${\log }_2{N}^2/2$次复数乘法，${\log }_2{N}^2$次复数加法，所以分段频域卷积的计算量为：
   $$\begin{gathered} 复数乘法:N_{frm}\ast (3\ast {\log }_2{N}_{fft}^2/2+N_x) \\ 复数加法:N_{frm}\ast (3\ast {\log }_2{N}_{fft}^2) \end{gathered}$$
   其中$N_{frm}=\lfloor N/N_x\rfloor$。所以，频域分段卷积比时域卷积的运算量小许多。