线性代数 05.09 相似矩阵及二次型 习题课

相似矩阵及二次型主要知识网络图
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 6.1向量的内积6.2特征值与特征向量6.3二次型  

6.1 向量的内积
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 定义:[x,y]=∑x i y i 性质:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1.[x,y]=[y,x]2.λ[x,y]=[λx,y]3.[x+y,z]=[x,z]+[y,z] 范数:∥x∥=[x,x] − − − −  √ 夹角:θ=arccos[x,y]∥x∥∥y∥ 正交:[x,y]=0  

6.2 特征值与特征向量
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 定义:Ax=λx,x≠0求法:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 特征值:{1.定义法;2.特征多项式法|A−λE|. 特征向量:{1.定义法;(A−λE)x=0的基础解系法.  性质:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量|A|=λ 1 λ 2 ⋯λ n ,∑a ii =∑λ i  相似:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 定义:P −1 AP=B可对角化⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {1.A有n个线性无关的特征向量2.R(A−λ k E)=n−k,λ k 是A的k重特征值. {1.A有n个不同的特征值2.A是实对称矩阵.  应用{1.A n =PΛ n P −1 2.f=x T Ax⟹f=y T Λy.  实对称矩阵隐含的信息:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 必可以对角化,且可用正交变换不同特征值所对应的特征向量正交特征值全为实数k重特征值必有k个线性无关的特征向量与对角矩阵合同   

6.3 二次型
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 矩阵表示:f=x T Ax标准型:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 定义:f=y T Λy化标准型.⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1.正交化方法2.配方法3.合同变换法  正定二次型:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 惯性定律:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 惯性指数R(A)=r,正惯性指数p;负惯性指数q 定义:∀x≠0,x T Ax>0充要条件:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 特征值全大于零;正惯性指数为n;顺序主子式全大于零;A合同E,或A=U T U,其中U可逆. 必要条件:|A|>0   

例1.已知α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ ,求一组非零向量α 2 ,α 3 ,使α 1 ,α 2 ,α 3 两两正交. 
解:∵α 2 ,α 3 与α 1 正交,∴α T 1 α 2 =0;α T 1 α 3 =0即α 2 ,α 3 为方程α T 1 X=0的解,其中X=⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3  ⎞ ⎠ ⎟ ,亦即方程x 1 +x 2 +x 3 =0即x 1 =−x 2 −x 3 显然,方程组的基础解系为:ξ 2 =⎛ ⎝ ⎜ −110 ⎞ ⎠ ⎟ ,ξ 3 =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ,把基础解系正交化:α 2 =ξ 2 ,α 3 =ξ 3 −[ξ 3 ,ξ 2 ]ξ 2 ∥ξ 2 ∥ 2  α 2 =⎛ ⎝ ⎜ −110 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ −12 ⎛ ⎝ ⎜ −110 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −12 −12 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 即为所求. 

例2.设0是矩阵A=⎛ ⎝ ⎜ 101 020 10a ⎞ ⎠ ⎟ 的特征值,求a.再求A的其他特征值. 
解:由于0是a的特征值,所以|A|=0,即|A|=2(a−1)=0,从而a=1通过|A−λE|=0求A的所有特征值,由|A−λE|=⎛ ⎝ ⎜ 1−λ01 02−λ0 101−λ ⎞ ⎠ ⎟ =(2−λ)[(1−λ) 2 −1]=−λ(λ−2) 2 =0故λ 1 =0,λ 2 =λ 3 =2,所以,A的其它特征值为2. 

例3.设A=⎛ ⎝ ⎜ 122 212 221 ⎞ ⎠ ⎟ 求A的全部特征值和对应的特征向量. 
解:①根据|A−λE|=0,求A的全部特征值.|A−λE|=∣ ∣ ∣ ∣ 1−λ22 21−λ2 221−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ 5−λ5−λ5−λ 21−λ2 221−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =(5−λ)∣ ∣ ∣ ∣ 111 21−λ2 221−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =(5−λ)∣ ∣ ∣ ∣ 100 2−1−λ0 20−1−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =(5−λ)(−1−λ) 2 =−(λ+1) 2 (λ−5)=0解得A的特征值为:λ 1 =λ 2 =−1,λ 3 =5.②通过方程(A−λE)x=0,求A的特征向量,当λ 1 =λ 2 =−1时,(A+E)x=0,由A+E=⎛ ⎝ ⎜ 222 222 222 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 100 100 ⎞ ⎠ ⎟ 解得(A+E)x=0基础解系ξ 1 =⎛ ⎝ ⎜ −110 ⎞ ⎠ ⎟ ,ξ 2 =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ,故矩阵A对应于特征值λ 1 =λ 2 =−1的全部特征向量为:k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 ,(k 1 ,k 2 ∈R)当λ 3 =5时,(A−5E)x=0,由(A−5E)=⎛ ⎝ ⎜ −422 2−42 22−4 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 22−4 2−42 −422 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 11−2 1−21 −211 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−33 −23−3 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 −1−10 ⎞ ⎠ ⎟ 故(A−5E)x=0的基础解系为:ξ 3 =⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ ,矩阵A对应于特征值λ 3 =5的全部特征向量为k 3 ξ 3 ,k 3 ∈R 

例4.设3阶矩阵A的特征值为1,−1,2,且B=A 3 −5A 2 ,试求:(1)矩阵B的特征值及其相似对角矩阵,并说明理由;(2)行列式|B|及|A−5E|. 
解:(1)因Ax=λx时,有A 3 x=λ 3 x,A 2 x=λ 2 x,从而Bx=(A 3 −5A 2 )x=λ 3 x−5λ 2 x=(λ 3 −5λ 2 )x,由于A的特征值是1,−1,2,从而B的特征值为:−4,−6,−12.(2)因为B的特征值为:−4,−6,−12,所以|B|=(−4)×(−6)×(−12)=−288.有因为:|A|=1×(−1)×2=−2.而|B|=|A 3 −5A 2 |=|A| 2 |A−5E|故|A−5E|=−288÷(−2) 2 =−72. 

例5.设矩阵A与B相似,其中A=⎛ ⎝ ⎜ −223 0x1 021 ⎞ ⎠ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ −103 020 00y ⎞ ⎠ ⎟ (1)求x和y的值;(2)求可逆矩阵P,使P −1 AP=B. 
解:(1)因为A∼B,故其特征多项式相同,即|A−λE|=|B−λE|∣ ∣ ∣ ∣ −2−λ23 0x−λ1 021−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ −1−λ03 02−λ0 00y−λ ∣ ∣ ∣ ∣ (−2−λ)[(x−λ)(1−λ)−2]=(−1−λ)(2−λ)(y−λ)(λ+2)[λ 2 −(x+1)λ+(x−2)]=(λ+1)(λ−2)(λ−y)令λ=−2,解得y=−2,令λ=−1,解得x=0即:x=0,y=−2(2)由(1)知A=⎛ ⎝ ⎜ −223 001 021 ⎞ ⎠ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ −103 020 00−2 ⎞ ⎠ ⎟ 由于A∼B,从而A的特征值为λ 1 =−1,λ 2 =2,λ 3 =−2.当λ 1 =−1时,由(A+E)x=0得(A+E)=⎛ ⎝ ⎜ −123 011 022 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 020 ⎞ ⎠ ⎟ 对应的特征向量为p 1 =⎛ ⎝ ⎜ 0−21 ⎞ ⎠ ⎟ ;当λ 1 =2时,由(A−2E)x=0得(A−2E)=⎛ ⎝ ⎜ −423 0−21 02−1 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 0−10 ⎞ ⎠ ⎟ 对应的特征向量为p 2 =⎛ ⎝ ⎜ 011 ⎞ ⎠ ⎟ ;当λ 1 =−2时,由(A+2E)x=0得(A+2E)=⎛ ⎝ ⎜ 023 021 023 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 100 ⎞ ⎠ ⎟ 对应的特征向量为p 3 =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ;由特征向量拼成可逆矩阵PP=(p 1  p 2  p 3  )=⎛ ⎝ ⎜ 0−21 011 −101 ⎞ ⎠ ⎟ 使得P −1 AP=B 

例6.设H=E−2xx T ,x T x=1,其中x为n维列向量,试证:(1)H是对称矩阵;(2)H是正交矩阵. 
证:(1)H T =(E−2xx T )=E T −(2xx T ) T =E−2(x T ) T x T =E−2xx T =H,∴H是对称矩阵.(2)H T H=HH=(E−2xx T )(E−2xx T )=E−2xx T −2xx T +2xx T ⋅2xx T =E−4xx T +4x(x T x)x T =E−4xx T +4xx T =E∴H是正交矩阵. 

例7.设A=⎛ ⎝ ⎜ 123 213 336 ⎞ ⎠ ⎟ ,求正交矩阵P,使得P −1 AP成为对角矩阵. 
解:①根据|A−λE|=0,求A的全部特征值:|A−λE|=∣ ∣ ∣ ∣ 1−λ23 21−λ3 336−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ 6−λ6−λ12−λ 21−λ3 336−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ 6−λ012−λ 2−1−λ3 306−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =−(1+λ)[(6−λ) 2 −3(12−λ)]=(1+λ)λ(λ−9)=0解得A的全部特征值为λ 1 =−1,λ 2 =0,λ 3 =9②根据(A−λE)x=0,求A的特征向量.当λ=−1时,(A+E)x=0,由A+E=⎛ ⎝ ⎜ 223