稳定匹配问题（FROM Gale-Shapley TO 匈牙利算法）

稳定匹配问题（FROM Gale-Shapley TO 匈牙利算法）

匈牙利算法可以參考本片博客：(https://www.jianshu.com/p/cb685445e8b1)

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盖尔沙普利算法原理：

初始化所有$m\in M,w\in W,$所有的m和w都是自由状态；
while(存在男人是自由的，并且他还没有对每个女人都求过婚)
{
     选择一个这样的男人m；
     w = m的优先选择表中还没有求过婚的排名最高的女人；
     if(w 是自由状态)
     {
          将 (m,w) 的状态设置为约会状态;
     }
     else /* w 已经和其他男人约会了*/
     {
          m’ = w 当前约会的男人;
          if(w 更喜爱 m’ 而不是 m)
          {
               m 保持单身状态(w 不更换约会对象);
          }
          else /* w 更喜爱 m 而不是 m’*/
          {
               将 (m,w) 的状态设置为约会状态;
               将 m’ 设置为自由状态;
          }
     }
}
输出已经匹配的集合S

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盖尔沙普利算法原型就是解决婚姻匹配的问题，以上便是其精髓。能够轻松正确的

理解了上面的算法，你才有可能理解下面介绍的匈牙利算法（针对作者本人而言 ^ _ ^ ）

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匈牙利算法：

  匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。（以上来自百度）废话不多说，直入主题。
先来看几个概念：
  1、二部图： 二部图是这样一个图，它的顶点集合V可以划分为X和Y两个集合，它的边集合E中的每条边都有一个端点在X集合，另一个端点在Y集合。如下图：
      
  2、匹配： 在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

  3、最大匹配： 一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。如下图：
      

  4、完美匹配： 当M是二部图的最大匹配且没有未覆盖点的时候，则这个集合M就是二部图的完美匹配。上图中的匹配就是完美匹配。

最后一个最关键的概念：增广路径 ；
  5、增广路径： 具有如下特点：
    1－P的路径长度必定为奇数。
    2－起点在左，终点在右。
    3－路径中的点左右交替出现。
    4－只有起点和终点是未覆盖点，其他点都配对。
    5 -对增广路径编号，所有奇数的边都不在M中，偶数边在M中。
    6 -对增广路径取反得到的匹配比原来匹配多一个。

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来个实例，寻找下图的最大匹配：

      


首先M集合为空（即没有边在里面），然后开始从X1寻找增广路，遵循2的原则我们只能在Yi中找，找到Y1，（X1，Y1 ）这条路径，满足1-5的条件,取反，将（X1，Y1 ）这条路径加入到M中。

      


接着，我们找到X2点，遵循原则，找到Y1。但是Y1不是未覆盖点，所以(X2,Y1)不是增广路，但是Y1连着X1，X1又和Y3相连，我们考虑（ X2,Y1,X1,Y3 ）。这条路径，奇数？左右交替？起终点未覆盖？奇路径不属于M偶路径属于？满足所有增广路条件，所以这是一条增广路径，然后取反，得到如下图。

      

增广路径是匈牙利算法的核心，每找到一条增广路径，意味这M集合中边的数量就会增加1，当找不到增广路径的时候，这个时候M中边的数量就是我们二部图的最大匹配数量。
当我们从X2开始寻找时，我们找到了Y1。但Y1不是未覆盖点，则我们考虑Y1原有的匹配点X1。从X1我们开始找增广路，找到了Y3，当X1有增广路的时候，加上(X1,Y1)原来X1的增广路，再加上(X2,Y1) 现X2的增广路，依然满足增广路条件。形成了（X2,Y1）—（Y1,X1）—（X1,Y3）新的增广路，伪代码如下：

while(找到Xi的关联顶点Yj)
{
     if(顶点Yj不在增广路径上)
     {
           将Yj加入增广路
           if(Yj是未覆盖点或者Yj的原匹配点Xk能找到增广路径)
           { //扩充集合M
                 将Yj的匹配点改为Xi;
                 返回true
           }
    }
    返回false
}

这里时C代码实现：

typedef struct tagMaxMatch{
   int edge[COUNT][COUNT]; //顶点与边的关系表，用来表示二部图。
   bool on_path[COUNT]; //表示顶点Yj是否已经在当前搜索过程中形成增广路径上了
   int path[COUNT]; //当前找到的增广路径
   int max_match; //当前增广路径中边的条数
}GRAPH_MATCH;

void outputRes(int *path){
   for (int i = 0 ; ion_path[j] = false;
   }
  
}
//dfs算法
bool FindAugPath(GRAPH_MATCH *match , int xi){
   for (int yj = 0 ; yj < COUNT; yj++) {
       if ( match->edge[xi][yj] == 1 && !match->on_path[yj]) { //如果yi和xi相连且yi没有在已经存在的增广路经上
            match->on_path[yj] = true;
           if (match->path[yj] == -1 || FindAugPath(match,match->path[yj])) { // 如果是yi是一个未覆盖点或者和yi相连的xk点能找到增广路经，
                 match->path[yj] = xi; //yj点加入路径;
                 return true;
           }
       }
   }
   return false;
}

void Hungary_match(GRAPH_MATCH *match){
   for (int xi = 0; xipath);
}

int main() {
   
   GRAPH_MATCH *graph = (GRAPH_MATCH *)malloc(sizeof(GRAPH_MATCH));
   for (int i = 0 ; i < COUNT ; i++) {
       for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {
           graph->edge[i][j] = 0;
       }
   }
   graph->edge[0][1] = 1;
   graph->edge[0][0] = 1;
   graph->edge[1][1] = 1;
   graph->edge[1][2] = 1;
   graph->edge[2][1] = 1;
   graph->edge[2][0] = 1;
   graph->edge[3][2] = 1;
   
   for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {
       graph->path[j] = -1;
       graph->on_path[j] = false;
   }
   
   Hungary_match(graph);
   
   
}

至此，匹配相关的问题就介绍完了，希望上面的内容对大家有帮助。
原文链接： 原文参考