union-find算法中的quick-find算法的复杂度

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union-find算法用于检测动态连通性，例如计算机网络中的两个节点是否连通，在一个特定圈子里的两个人是否有间接的朋友关系，等等。

quick-find算法是union-find算法的众多实现中最简单也最没有效率的一种，它的主要实现如下：

public int find(int p) {
  return id[p];
}

public void union(int p, int q) {
  // 查找点 p 和点 q 在id数组中的值，从而可以接着判断它们是否在相同的连通分量中
  int pID = find(p);
  int qID = find(q);

  // p, q已经在相同的分量中，无需任何操作
  if (pID == qID) {
    return;
  }

  // 执行到这里，说明 p 和 q 不在相同的分量中，因此需要把它们进行归并，在这里，是把 p 所在的分量里的所有元素全部重命名为 q 所在的分量里的名称（唯一）
  for (int i = 0; i < id.length; i++) {
    if (id[i] == pID) {
      id[i] = qID;
    }
  }
  count--;
}

find() 函数用于查找一个点 p 的名称；union() 函数用于归并两个点 p 和 q，如果它们已经在同一个连通分量里，那么不会产生任何归并效果。

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之所以把这种算法叫quick-find，是因为它的 find() 操作很快，只需要访问id数组一次；但是quick-find的 union() 操作却很慢，因为它需要访问整个id数组。

事实上，union() 访问数组的次数，至少是 N+3，至多是 2N+1，其中N是点的个数。

这是怎么算出来的呢？下面来看一下。

union() 函数一开始的两个 find() 操作无论如何是逃不掉的，所以这里至少就访问了 2 次id数组。

而 if (pID == qID) 这一句，没有对数组进行任何访问，因此，最后的for循环应该是至少访问了 N+1 次数组，但这又是怎么算出来的呢？

i 从 0 循环到 id.length（即N），共执行了N次，所以for循环里的if语句一定会执行N次，所以数组访问至少会有N次，那么还差1次，是怎么来的呢？

由于一定有一个 i 使得 id[i] == pID 成立（也就是p所在的那个分量），所以 id[i] == qID 至少会被执行一次，所以for循环访问数组的次数就至少是 N+1 次了。在这种情况下，所有id数组中，只有一个元素是与p处于同一连通分量的（其实也就是p这一个，或者说，p很“孤独”），它会被合并到q所在的连通分量中。

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那么union() 访问数组的次数，最多是 2N+1，这又是怎么算出来的呢？

当id数组中，除了q之外，其他所有元素都与p处于同一连通分量中的话，那么，if (id[i] == pID) 这个条件就会成立 N-1 次，这意味着 id[i] = qID 会被执行 N-1 次，而N次 if 判断无论如何都是会被执行的，所以for循环里访问数组的次数是 N+N-1=2N-1 次，另外前面说了，union()函数中两个find()操作是免不了的，所以还要再加2次，总共是 2N-1+2=2N+1 次。
 

因此，union()访问数组的次数在 N+3 到 2N+1 之间。

 

如果所有的 N 个分量其实都不在一个连通分量中，那么在解这个union-find问题的时候，就要调用 N-1 次union()函数，则需要访问数组的次数至少是 (N+3)(N-1) 次，即等价于 N^2 次的复杂度。

于是得证。