伯德图（Bode图）分析系统性能

1. 基本概念

1. 定义
   伯德图是系统频率响应的一种图示方法。也称为开环对数频率特性曲线。
2. 作用
   根据Bode图，从系统频率的角度分析系统性能。
3. 坐标系
   伯德图由两张图组成，一个是幅频特性曲线，另一个是相频特性曲线。
   伯德图横坐标为对数刻度，纵坐标幅值或相角采用线性分度。
   幅频特性曲线，其中横坐标上为$\omega$，单位为$rad/s$，刻度为对数刻度，按照$\lg \omega$刻度；纵坐标为$20\lg |G(j\omega )|$，单位为分贝（dB），按照线性刻度。
   相位特性曲线，其中横坐标上为$\omega$，单位为$rad/s$，刻度为对数刻度，按照$\lg \omega$刻度；纵坐标为$\phi (\omega )$，单位为度（°）按照线性刻度。

2. 伯德图绘制

绘制伯德图的一般步骤为：首先将开环频率特性改写为基本环节的乘积，画出各基本环节的伯德图，然后把各基本环节伯德图的对数幅值相加，相角相加，就得到系统的伯德图。
其中基本环节有：

1. 比例环节；
2. 惯性环节；
3. 一阶微分环节；
4. 积分环节；
5. 微分环节；
6. 振荡环节；
7. 二阶微分环节；
8. 延迟环节。

伯德图幅频特性曲线绘制的具体步骤：

1. 确定系统开环增益$K$，并计算$20\lg K$；
2. 确定各个具有转折频率环节的转折频率，标在坐标轴上；
3. 在坐标轴上找出横坐标 $\omega =1$，纵坐标为 $20\lg K$的A点；
4. 过A点做一直线，使其斜率等于-20vdB/十倍频程。当v=0, v=1, v=2时，斜率分别是(0，-20，-40)/十倍频程；
5. 从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减；
6. 频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/十倍频程；
7. 若系统中有振荡环节，当 $\xi <0.4$ 时，需对$L(\omega )$进行修正。

伯德图相频曲线绘制的具体步骤：

1. 绘制各个环节的相频曲线；
2. 各个环节的相频曲线相加；
   当 $\omega \to 0$ 时，$\phi (\omega )\to -v\cdot 90°$
   当 $\omega \to \infty$ 时，$\phi (\omega )\to -(n-m)\cdot 90°$

3. 系统分析

3.1 对数频率稳定判据

一个反馈控制系统，其闭环特性方程正实部根个数为$Z$，当$Z$为0时系统稳定，否则不稳定。而$Z$的计算方法之一就是根据开环传递函数和Bode图确定。具有公式如下：
$$Z=P-2N$$
其中：$P$为的开环传递函数右半$s$平面极点数；$Z$为Bode图幅频曲线中幅值为正的频率范围内，相频曲线对-180°线正负穿越之差。

3.2 相位裕量 & 幅值裕量

1. 原始定义
   相位裕量：开环幅频曲线幅值为1对用的相角值加上180°，称为$\gamma$ 。
   幅值裕量：开环幅相曲线与负实值交点处的模值$|G(j{\omega }_g)|$的倒数，称为$h$。
   截止频率：一般指幅频截止频率，Bode图幅频曲线与横轴交点的频率，称为 ${\omega }_c$。
   相频截止频率：Bode图相频曲线与-180°线交点的频率，称为 ${\omega }_g$。

2. 物理意义
   相位裕量：如果系统对频率信号 ${\omega }_c$ 相位再滞后 值，系统就处于临界稳定状态。
   幅值裕量：如果系统的开环放大系数增大到原来的$h$倍，则闭环系统就进入临界稳定状态。而在应用中， 幅值裕量常常用分贝值$L_h$表示。
   $$L_h=0-20\lg |G(j{\omega }_g)|$$

3. 由伯德图计算方法
   相位裕量：伯德图上截止频率对应的相位曲线上的角度与-180的差值。
   幅值裕量：伯德图幅频曲线上横轴与相位截止频率对应幅频曲线值的差值。

4. 系统分析
   相位裕量：$\gamma >0$则系统稳定，否则系统不稳定。$\gamma$ 值越大，其系统的稳定程度越高，工程上一般要求 $\gamma \ge 40°(40°-60°)$ 。
   幅值裕量：$L_h>0$则系统稳定，否则系统不稳定。$L_h$值越大，其闭环系统稳定程序越高。一般要求$L_h⩾6dB(6dB-10dB)$ 。

3.3 三段频分析系统性能

低频段是指伯德图在第一个转折频率之前的区间，该段区间由开环增益和积分环节决定；中频段是指Bode图在截止频率 ${\omega }_c$ 附近的区间；高频段是指频率 $\omega >10{\omega }_c$的区间。

1. 低频段与系统稳定精度的关系
   该低频段的斜率愈小，位置愈高，对应于系统积分环节的数目愈多，开环增益K值愈大。故其闭环系统在满足稳定的条件下，其稳态误差愈小，系统的稳态精度愈高。
2. 中频段与系统动态性能的关系
   该中频段斜率小于-60，则很难使闭环系统稳定；若等于-40，所占频率区间不宜过宽，则闭环系统可能稳定，即使稳定，其相稳定裕度也较小，系统的平稳性较差；如果中频段斜率为-20，且占据较宽的频段区间，一般说来，不仅可以保证系统稳定，而且可以使相稳定裕度增大，取得较好的平稳性。同时以提高截止频率来保证系统要求的快速性。
3. 高频段与系统抗干扰能力
   系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值愈低，系统抗干扰能力愈强。

3.4 其他指标对系统的影响

1. 带宽
   系统跟踪正弦输入信号，输出信号的幅值下降到和输入幅值的某一个比例时的频率。
   在系统中，高频信号体现的是信号的变换快慢，一个信号中如果高频信号幅值高，则这个信号变换速度也快。所以如果一个系统的带宽低，虽然输入频率还是在带宽范围内，那么这个系统在响应变换快速信号时（比如阶跃），他的输出就不能响应的变化速度快，会有一个平滑的过程，并且过程长幅值低，及动态指标差（响应时间等）。反之，如果系统的带宽高，则可以动态性能好，但此时会影响幅值裕量和相位裕量，影响系统的稳定性能。所以，一个系统的带宽需要高，但不能太高。
2. 截止频率
   截止频率根据定义，是指增益为1的时候对应频率，那么其分析规律和带宽是一致的。