余弦型振幅光栅（光学信息处理作业）

复振幅透过率：

t(x0,y0)=[12+m2cos(2πf0x0)]⋅rect(x0l)rect(y0l) t ( x 0 , y 0 ) = [ 1 2 + m 2 c o s ( 2 π f 0 x 0 ) ] ⋅ r e c t ( x 0 l ) r e c t ( y 0 l )

m≤1 m ≤ 1 称为光栅的调制度
证明：用单位振幅的单色平面光波垂直照明该光栅，可得光栅的频谱为：

T(fx,fy)=l22sinc(lfy)⋅{sinc(lfx)+m2⋅sinc[l(fx+f0)]+m2⋅sinc[l(fx−f0)]} T ( f x , f y ) = l 2 2 s i n c ( l f y ) ⋅ { s i n c ( l f x ) + m 2 ⋅ s i n c [ l ( f x + f 0 ) ] + m 2 ⋅ s i n c [ l ( f x − f 0 ) ] }

证明：
令

f(x,y)=12+m2cos(2πf0x0)g(x,y)=rect(x0l)rect(y0l)t(x,y)=f(x,y)⋅g(x,y)(1)(2)(3)(4)(5) (1) f ( x , y ) = 1 2 + m 2 c o s ( 2 π f 0 x 0 ) (2) (3) g ( x , y ) = r e c t ( x 0 l ) r e c t ( y 0 l ) (4) (5) t ( x , y ) = f ( x , y ) ⋅ g ( x , y )

分别对f(x)​和g(x)​作傅里叶变换得:

F(fx,fy)=12δ(fx,fy)+m4[δ(fx+f0,fy)+δ(fx−f0,fy)]G(fx,fy)=l2⋅sinc(lfx)sinc(lfy)T(fx,fy)=F(fx,fy)∗G(fx,fy)(6)(7)(8)(9)(10) (6) F ( f x , f y ) = 1 2 δ ( f x , f y ) + m 4 [ δ ( f x + f 0 , f y ) + δ ( f x − f 0 , f y ) ] (7) (8) G ( f x , f y ) = l 2 ⋅ s i n c ( l f x ) s i n c ( l f y ) (9) (10) T ( f x , f y ) = F ( f x , f y ) ∗ G ( f x , f y )

任意函数 f(x,y) f ( x , y ) 与 δ δ 函数卷积，结果是函数 f(x,y) f ( x , y ) 本身

f(x,y)∗δ(x,y)=∬∞−∞f(ξ,η)δ(ξ−x,η−y)dξdη=f(x,y)(11)(12)(13) (11) f ( x , y ) ∗ δ ( x , y ) = ∬ − ∞ ∞ f ( ξ , η ) δ ( ξ − x , η − y ) d ξ d η (12) (13) = f ( x , y )

将上式简单推广得到 f(x,y)∗δ(x−x0,y−y0)=f(x−x0,y−y0)​ f ( x , y ) ∗ δ ( x − x 0 , y − y 0 ) = f ( x − x 0 , y − y 0 ) ​ ，这表明 δ​ δ ​ 函数平移多少距离，原函数就要平移多少距离。

所以

T(fx,fy)=F(fx,fy)∗G(fx,fy)={12δ(fx,fy)+m4[δ(fx+f0,fy)+δ(fx−f0,fy)]}∗[l2⋅sinc(lfx)sinc(lfy)]=l22⋅sinc(lfx)sinc(lfy)+m4⋅l2sinc[l(fx+f0)]sinc(lfy)+m4⋅l2sinc[l(fx−f0)]sinc(lfy)=l22⋅sinc(lfy)⋅{sinc(lfx)+m2⋅sinc[l(fx+f0)]+m2⋅sinc[l(fx−f0)]}(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20) (14) T ( f x , f y ) = F ( f x , f y ) ∗ G ( f x , f y ) (15) (16) = { 1 2 δ ( f x , f y ) + m 4 [ δ ( f x + f 0 , f y ) + δ ( f x − f 0 , f y ) ] } ∗ [ l 2 ⋅ s i n c ( l f x ) s i n c ( l f y ) ] (17) (18) = l 2 2 ⋅ s i n c ( l f x ) s i n c ( l f y ) + m 4 ⋅ l 2 s i n c [ l ( f x + f 0 ) ] s i n c ( l f y ) + m 4 ⋅ l 2 s i n c [ l ( f x − f 0 ) ] s i n c ( l f y ) (19) (20) = l 2 2 ⋅ s i n c ( l f y ) ⋅ { s i n c ( l f x ) + m 2 ⋅ s i n c [ l ( f x + f 0 ) ] + m 2 ⋅ s i n c [ l ( f x − f 0 ) ] }

证明完毕

附件：
1、 δ(t) δ ( t ) 的傅里叶变换，由 δ δ 函数的筛选特性可得：

∫∞−∞δ(t)e−j2πftdt=1 ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) e − j 2 π f t d t = 1

2、 cos(2πf0x) c o s ( 2 π f 0 x ) 的傅里叶变换：

F[cos(2πf0x)]=∫∞−∞[cos(2πf0x)]⋅e−j2πfxdx=∫∞−∞12(e−j2πf0x+ej2πf0x)⋅e−j2πfxdx=12⋅∫∞−∞e−j2π(f+f0)x+e−j2π(f−f0)xdx=12⋅[δ(f+f0)+δ(f−f0)](21)(22)(23)(24)(25)(26)(27) (21) F [ c o s ( 2 π f 0 x ) ] = ∫ − ∞ ∞ [ c o s ( 2 π f 0 x ) ] ⋅ e − j 2 π f x d x (22) (23) = ∫ − ∞ ∞ 1 2 ( e − j 2 π f 0 x + e j 2 π f 0 x ) ⋅ e − j 2 π f x d x (24) (25) = 1 2 ⋅ ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π ( f + f 0 ) x + e − j 2 π ( f − f 0 ) x d x (26) (27) = 1 2 ⋅ [ δ ( f + f 0 ) + δ ( f − f 0 ) ]

3、 rect(x) r e c t ( x ) 的傅里叶变换：

F[rect(x)]=∫∞−∞rect(x)⋅e−j2πfxdx=∫12−12e−j2πfxdx=e−j2πfx−j2πf|12−12=e−j2πf−ej2πf−j2πf=sin(πf)πf=sinc(f)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38) (28) F [ r e c t ( x ) ] = ∫ − ∞ ∞ r e c t ( x ) ⋅ e − j 2 π f x d x (29) (30) = ∫ − 1 2 1 2 e − j 2 π f x d x (31) (32) = e − j 2 π f x − j 2 π f | − 1 2 1 2 (33) (34) = e − j 2 π f − e j 2 π f − j 2 π f (35) (36) = s i n ( π f ) π f (37) (38) = s i n c ( f )