平衡二叉树和AVL

1  概述      

        对于一棵二分搜索树，如果我们的数据是顺序添加到二分搜索树中，它就会退化成一个链表。我们如何解决这个问题呢，我们需要在现有的二分搜索树的基础上添加一些机制，使得我们二分搜索树能维持平衡二叉树这样的一个性质，而AVL就是一种最为经典的平衡二叉树。

什么样的树才是平衡二叉树呢？

满二叉数：除了叶子节点，其余节点都有左右子树，所以是一棵平衡二叉树

而最大堆中所说的完全二叉树：因为它叶子节点中最大深度值与最小深度值相差不超过1，也是平衡二叉树。、

我们在AVL中所维护的这种平衡二叉树，它的条件更加宽松些：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1

现在我们按照二分搜索树添加元素的方法往上图中的树中添加2和7两个元素，可得下图

我们再来计算各个节点的高度和平衡因子

可以看到，根节点12和它的左孩子节点8的平衡因子都为2，所以此时就不是平衡二叉树了。

 

2. 添加节点（4种情况）

       我们要注意，AVL树只是对二分搜索树的改进，它本质上还是一个二分搜索树，所以我们只需要在二分搜索树代码的基础上进行修改就可以了。二分搜索树的代码在我github上：GitHub链接

      由于我们只有新添加一个节点，才会导致以前的平衡二叉树可能变为不平衡，而不平衡节点的出现只可能出现在插入节点（叶子节点）的父辈节点上。所以我们维护平衡的时机应该是我们加入节点之后，我们沿着这个节点向上回溯来维持这个平衡性，由于我们添加节点的操作时递归进行的，所以我们来维护也是很容易的。

维护时的情况有四种，LL,RR,LR,RL

 

1)  LL——右旋转（插入的元素在不平衡节点的左侧的左侧）

我们来看个例子：

上面这个图是个平衡二叉树，现在往这个平衡二叉树添加一个节点2：

       可以看到，此时节点8左子树高度为3，右子树高度为1，所以节点8的平衡因子为2，所以节点8打破了平衡二叉树的性质，所以我们需要对节点8这个位置进行一个平衡的维护，那么我们怎么来维护呢？

      上面的情况我们可以抽象成下图中的左边，我们分两步，第一步：将y连接在x节点的右孩子上；第二部：将T3连接在y的左孩子上；这样就变成下图右边的样子了，这样既满足了二分搜索树的性质，又满足了平衡二叉树的性质

 

 

2)  RR——左旋转（插入的元素在不平衡节点的右侧的右侧）

 

上面两种情况的代码：

    // 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
    public void add(K key, V value){
        root = add(root, key, value);
    }
    private Node add(Node node, K key, V value){

        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(key, value);
        }

        if(key.compareTo(node.key) < 0)
            node.left = add(node.left, key, value);
        else if(key.compareTo(node.key) > 0)
            node.right = add(node.right, key, value);
        else // key.compareTo(node.key) == 0
            node.value = value;

        // 更新height
        node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));

        // 计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

        // 平衡维护
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
            return rightRotate(node);

        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
            return leftRotate(node);

        return node;
    }
    // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //        y                              x
    //       / \                           /   \
    //      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
    //     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
    //    z   T3                       T1  T2 T3 T4
    //   / \
    // T1   T2
    private Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node T3 = x.right;

        // 向右旋转过程
        x.right = y;
        y.left = T3;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

        return x;
    }
    // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //    y                             x
    //  /  \                          /   \
    // T1   x      向左旋转 (y)       y     z
    //     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
    //   T2  z                     T1 T2 T3 T4
    //      / \
    //     T3 T4
    private Node leftRotate(Node y) {
        Node x = y.right;
        Node T2 = x.left;

        // 向左旋转过程
        x.left = y;
        y.right = T2;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

        return x;
    }

 

 

3) LR——（插入的元素在不平衡节点的左侧的右侧）

这种情况如下图：

我们看下上图的左边，如果我们现在使用右旋转，则12变成8的左孩子，10变成8的右孩子，违反了二分搜索树的原则。所以我们将上面的情况抽象：

此时，我们先对x进行左旋转

可以看到，此时已经转换成LL的情况了，然后我们再按第一节右旋转的方法对y节点进行右旋转就可以啦

 

 

4) RL——（插入的元素在不平衡节点的右侧的左侧）

先对x进行右旋转

然后再对y进行左旋转就可以了

 

对于代码方面，第三四种情况直接服用左旋转和右旋转的代码就行啦

注意绿色的条件要搞清楚

 

3.   删除节点

原理和添加节点一样，直接看代码吧：

    // 从二分搜索树中删除键为key的节点
    public V remove(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        if(node != null){
            root = remove(root, key);
            return node.value;
        }
        return null;
    }

    private Node remove(Node node, K key){

        if( node == null )
            return null;

        Node retNode;
        if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            node.left = remove(node.left , key);
            // return node;
            retNode = node;
        }
        else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
            node.right = remove(node.right, key);
            // return node;
            retNode = node;
        }
        else{   // key.compareTo(node.key) == 0

            // 待删除节点左子树为空的情况
            if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                // return rightNode;
                retNode = rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            else if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                // return leftNode;
                retNode = leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况
            else{
                // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
                // 用这个节点顶替待删除节点的位置
                Node successor = minimum(node.right);
                //successor.right = removeMin(node.right);
                successor.right = remove(node.right, successor.key);
                successor.left = node.left;

                node.left = node.right = null;

                // return successor;
                retNode = successor;
            }
        }

        if(retNode == null)
            return null;

        // 更新height
        retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));

        // 计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);

        // 平衡维护
        // LL
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
            return rightRotate(retNode);

        // RR
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
            return leftRotate(retNode);

        // LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
            retNode.left = leftRotate(retNode.left);
            return rightRotate(retNode);
        }

        // RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
            retNode.right = rightRotate(retNode.right);
            return leftRotate(retNode);
        }

        return retNode;
    }