动态规划算法

动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解
   的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这
   些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4 磅， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

• 思路分析和图解

3. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价
   值最大。其中又分01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
4. 这里的问题属于01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01 背包。
5. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i 个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品
   放入背包中。即对于给定的n 个物品，设v[i]、w[i]分别为第i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令v[i][j]
   表示在前i 个物品中能够装入容量为j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

 //表示填入表第一行和第一列是0
(1) v[i][0]=v[0][j]=0;

// 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] 

// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1 商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

6. 图解的分析
   

代码实现

public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        //物品的价值这里val[i] 就是前面讲的v[i]
        int[] val = {1500, 3000, 2000};
        //背包的容量
        int m = 4;
        //物品的个数
        int n = val.length;


        //创建二维数组
        //v[i][j] 表示在前i 个物品中能够装入容量为j 的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
        //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            //将第一列设置为0
            v[i][0] = 0;
        }

        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            //将第一行设置0
            v[0][i] = 0;
        }
        //根据前面得到公式来动态规划处理
        //不处理第一行i 是从1 开始的
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            //不处理第一列, j 是从1 开始的
            for (int j = 1; j < v[i].length; j++) {
                // 因为我们程序i 是从1 开始的，因此原来公式中的w[i] 修改成w[i-1]
                if (w[i - 1] > j) {
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                } else {
                    //说明:
                    //因为我们的i 从1 开始的， 因此公式需要调整成
                    //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else 来体现公式
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }

        //输出一下v 看看目前的情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        System.out.println("============================");
        //输出最后我们是放入的哪些商品
        //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入

        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
        while (i > 0 && j > 0) { //从path 的最后开始找
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d 个商品放入到背包\n", i);
                j -= w[i - 1]; //w[i-1]
            }
            i--;
        }
    }
}